Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
Фото IX. Астигматизм (кружок наименьшего рассеяния). Г л. 9. Влияние аберраций: общий случай
177
и мы имеем
ao 2-я , a/2 .
А (P') = iE ^ h -*Pia' C0S V z'da'dy. (9<1)
о о
Положим
ul-W, kPlaO-Z, Ф = ^!. (9.2)
ao
Это значит, что Z является параметром, с помощью которого определяется положение точки в плоскости изображений, а Ф представляет максимальную разность фаз между колебаниями, возникающими в центре плоскости изображений от центральных и крайних точек зрачка. Получаем, интегрируя вначале по переменной ср,
іRal 5 1
h(<$t2)J0(tZ)tdt. (9.3)
X
о
Интегралы такого вида были представлены Ломмелем (Е. Lommel, 1885) следующим образом:
Л ^ = i^T-Mh (- U) + iV,)} (9.4)
для точек, расположенных в геометрической тени (Z/ФУ 1);И
А(Р') = ^к(Ф)(-и2 + Ш1) (9.5)
для точек, расположенных в геометрическом пучке. Функции u1, u2, v0 и V1 определяются рядами:
OO
u11-z (-iy {%)я+9рjk^p(z).
P=0 (9.6)
!'.-!(-ij'&rw).
P=о
В табл. 8 приведены результаты расчета освещенности в различных плоскостях установки.
12—5090 179 * Часть III. Влияние аберраций
Таблица 8
xX Ф Z 0 71 ~2 TC 2л Зл 4л
0,000 1,0000 0,8102 0,4051 0,0000 0,0453 0,0000
1,396 0,6008 0,4890 0,2498 0,0047 0,0277 0,0012
2,793 0,0871 0,0884 0,0853 0,0353 0,0065 0,0090
4,189 0,0042 0,0283 0,0708 0,0474 0,0048 0,0119
5,585 0,0145 0,0212 0,0336 0,0330 0,0104 0,0067
6,981 0,0000 0,0023 0,0100 0,0349 0,0143 0,0047
8,378 0,0041 0,0055 0,0102 0,0238 0,0143 0,0050
9,774 0,0004 0,0005 0,0021 0,0124 0,0179 0,0052
11,170 0,0014 0,0028 0,0090 0,0064 0,0062
12,566 0,0006 0,0011 0,0045 0,0114 0,0095
13,963 0,0003 0,0007 0,0035 0,0106 0,0112
С помощью разложения в ряды можно также исследовать, как изменяется концентрация энергии в зависимости от дефокусировки. Можно, например, вычислить полную энергию, содержащуюся внутри круга данного радиуса Z, как это сделал Волф (Е. Wolf, 1951), с помощью разложения в ряд по функциям Бесселя; на фиг. 77 представ-
Фиг. 77. Гл. 9. Влияние аберраций: общий случай
179
лены результаты его вычислений. Ф означает величину 2яd/k, где d — дефокусировка, выраженная в единицах оптического пути.
б) Частный случай круглых зрачков. Отметим прежде всего интересные результаты, полученные Пихтом (1925) в случае сферической аберрации 2 к. С другой стороны, Лансро предложил в 1947 г. любопытный метод вычисления, который можно представить схематически так. Нужно в общем виде вычислить интегралы, аналогичные приведенным в § 3; можем написать с точностью до множителя
Г (Z) = jF(t)J0(tZ)d(t*). (9.7)
о
Если функция F четная, то ее можно представить в виде ряда Тейлора по переменной 1 — і2:
F (t) = O1 + а2(1 - *2) + ... +0,(1-^-1. (9.8)
А тогда можно показать, что F(Z) выразится следующим образом:
Г (Z) = U1L1 (Z) + ^ L2 (Z) + ... + af Lp (Z), (9.9)
где функции L1, L2, ...,Lp связаны с функциями Бесселя порядка р соотношением
Lp(Z) = <2Рр\ jJ^. (9.10)
Расчет дифракции оказывается поэтому довольно простым, поскольку имеются таблицы функций Lp(Z).
Мы воспроизведем в качестве примера (табл. 9) результаты расчета сферической аберрации 3-го порядка, равной л/4 в точке, соответствующей фокусу крайних лучей (Sl = л/4, d = л/2),
в) Использование ортогональных функций. Для исследования различных аберраций Цернике и Нийбо-ер (F. Zernike, В. Nijboer, 1949) предложили предварительно выполнить разложение А в виде ортогональных полиномов на зрачке, что позволяет прежде всего классифицировать геометрические аберрации. Для разложения используется выражение вида
M = S bltnny'v+>"R™ (t)cosmy, (9.11)
Imn
12* 181 *_Часть III. Влияние аберраций
где I, m, п — целые числа, причем разность m—п — число положительное и четное; R ™ — особый полином и у' — величина изображения. Тогда можно выразить амплитуду
в некоторой точке плоскости изображений в виде разложения в ряд, содержащий функции Бесселя; фиг. 78 и 79 представляют некоторые из результатов, полученных этим методом, который позволяет рассматривать весьма разнообразные случаи. На этих двух фигурах и на фиг. 80, 81 освещенности выражены в процентах от освещенности в центре диска Эри. На практике различные предложенные' здесь разложения приводят к длительным вычислениям. Ряды сходятся довольно быстро, когда аберрации малы, «о расчеты становятся трудоемкими при росте аберраций и совсем бесполезными, когда А превышает 1 X. Случай средних и больших аберраций, следовательно, требует другой техники вычислений. Г л. 9. Влияние аберраций: общий случай 181
§ 3. Численное и механическое интегрирование
Релей численным методом определил освещенность в центре некоторых дифракционных пятен при наличии деформированной волны (деформация зависела только от одного параметра) и нашел, что если волновая поверхность может быть заключена между двумя сферами, отстоящими одна от другой «а расстоянии А/4, то падение освещенности не превышает 20%. После него Кон ради (A. Conrady), затем Бэкстон (A. Buxton) и Мартин (L. Martin) пользовались методами численного интегрирования. Эти методы, очевидно, очень., трудоемки, когда присутствуют одновременно несколько различных аберра- 182 *
