Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
C2— коэффициент комы 5-го порядка при тех же условиях;
а — коэффициент астигматизма, т. е. максимальное отклонение астигматической волновой поверхности от сферы сравнения, центр которой находится на середине расстояния, разделяющего оба фокуса.
§ 2. Изображение точки
Рассмотрим опять соотношение (1.5), выражающее распределение амплитуд в пятне изображения точки, отнесенное к координатам у', z'\ это соотношение мы запишем в следующем виде:
E (у', г') = і Jj h (?А — у' — Yz') dp'df. (8.4) Гл. 8. Влияние малых аберраций
171
Положим, что
= A _py_Tv,
(8.5)
где А' представляет собой отклонение волновой поверхности в точке с координатами ?', Y от сферы сравнения
Фиг. 67.
с центром в точке с координатами у', z' (фиг. 67). Обозначим через ds элемент поверхности, отнесенный к площади всего зрачка; следовательно, ds = hdhdyhг, так как
ds = 1. Соотношение (8.4) тогда примет вид
Если нормировать это выражение к амплитуде, которая получается в центре дифракционного пятна совершенного прибора (А' = 0), то относительную амплитуду Er(y',z') можно записать так:
Er {у', Z') = 1 + ik J J A 'ds — ~ JJ A '4s. (8.7)
Отсюда можно вывести выражение для освещенности центра дифракционного пятна с точностью до квадратичных членов;
Dt = ErE* = 1 — k2 [JJ A'2ds—(JJ A 'ds )']. (8.8)
Величина в квадратных скобках допускает простую геометрическую интерпретацию. Будем изменять радиус
Л Л
О/'. Z')
E (y', z') = *^
1 +ik^A'ds— (8.6) 156 * Часть III. Влияние аберраций
сферы сравнения (фиг. 68), тогда получим
A'= A0'+ R-R0.
Подставим выражение для А' в выражение (8 .8); непосредственное вычисление показывает, что Dr остается
Фиг. 68.
неизменной, как это можно было предположить априори. Действительно, можно написать, обозначая через А' и А'2 их средние значения:
Д'2—(Д')2 = Д'о - (До)2.
(8.9)
В качестве сферы сравнения удобно подобрать такую сферу, для которой До = 0; для этого достаточно, чтобы
R0 = R-I'.
Тогда относительную освещенность Dr можно выразить
так:
DrUf', z') = {\-Vtff
(8-Ю)
Простой расчет (Марешаль, 194-7) показывает, впрочем, что
Dr(y', z')>{I-^a;2)2.
(8.11)
Следовательно, можно вычислить нижний предел освещенности с помощью среднего квадратичного отклонения Гл. 8. Влияние малых аберраций
171
волновой поверхности от сферы 'надлежащего радиуса R0. Эта сфера соответствует минимуму среднего квадратичного отклонения.
Приложение этих результатов к ряду полезных для практики случаев показывает, что приближенная величина, найденная для Dr, отличается от точного значения только на 0,01, если Dr близко к 0,75; такое приближение уже оказывается достаточно точным для выяснения многих вопросов.
§ 3- Общее выражение для допустимого значения малых аберраций, влияющих на качество изображения точки
Выражение (8.10) или (8.11) может быть использовано, в частности, для доказательства того, что понижение центрального максимума не должно превосходить некоторой заранее известной величины. Релей (1879 г.), изучая влияние сферической аберрации, нашел, что аберрация порядка Х/4 понижает интенсивность в центре дифракционного пятна приблизительно на 20%, что вообще почти не влияет на качество изображения. Если принять за исходную эту величину, то можно написать ?2Д/2<0,2, или
Таким образом, мы получили ^формулу для допустимой величины среднего квадратичного отклонения Д^2 волновой поверхности относительно некоторой оптимальной сферы, а не максимального значения Дц.
Для оптика-вычислителя важна возможность быстро применить это правило при определении допусков для каждой из классических аберраций. Для этого нужно определить среднее квадратичное отклонение Д'0, используя равенства (8.3) и (8.9), где полагаем Д^ = 0, а также у' = z' = 0 (покачивание сферы сравнения удобно пред-
д <Г J^L aO 180 •
(8.12) 158 *
Часть III. Влияние аберраций
ставить параметром К):
р _ d* , dSl , 4 s2 , 3 , 1 9 2 Ki
А 0 ~ 72 + "6" + 15 sI + 2Od52+ Q S1S2 + ms2 + +
i с' j , C1C2 C22 а2
+ -+-8" + -4- + -5"+12" +X (8ЛЗ)
Для иллюстрации используемого метода мы выполним расчет в частном случае дефокусировки. Из (8.3) имеем А' = dh2, причем эта ошибка обладает симметрией вращения. Отсюда следует, что максимум освещенности будет расположен на оси, т. е. можно положить у' = г' = = /С=0. Вычислим по формуле (8.9) средние значения А'2 = сР/г4 и A' = dh2 на круге, радиус которого соответствует h = 1. Получим
__2л 1
A/2 = l J SdWZWAap = 4
00
и
2 it 1
57Idh2hdhd^ =4>
о о
откуда _
как это и записано в равенстве (8.13).
Наконец, общий допуск на малые аберрации в случае изображения точки можно определить с помощью следующего выражения, полученного из сопоставления равенств (8.12) и (8.13):
JdL+ ^fL + ±S2 , ±ds , 1 s EL .
12 6 + 45 sI + 20 flSa + 6 Sl52 ^ 112 S2 + 4 +
KC1 C2 КС C1C2 C22 а2 із ¦4--3-+-r+ — + -6- + T2- + -F<W (8Л4)
Можно заметить, что это выражение легко разделить на группы независимых членов, соответствующих дефокусировке и сферической аберрации, коме и, наконец, астигматизму. Если обозначить через Sm допустимую величину сферической аберрации, взятой изолированно или в комби- Гл. 8. Влияние малых аберраций
