Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
/ (Mf)= jo (M) D (M'- М) dM.
2. Если 7=1, будет иметь место совершенная когерентность. При этих условиях четверному интегралу
1) Не следует удивляться смелому приему, состоящему в отбрасывании множителя AVl2; для решения задачи можно вернуться к суммам (отбросив интегралы) или использовать теорию распределений. Гл. 7. Частичная когерентность
141
можно придать вид произведения двух двойных интегралов:
/ (M')= Jb(M1)^M'- M1) dM^Q (M2)E* (M'—M2)dM2 =
= |J Q(M)E (M' - M)dM\2,
в этом выражении мы узнаем квадрат модуля А(М') = = J^ (M) E (M' — M)dM, который был получен в заключительной части гл. 3, § 4.
§ 9. Гармонический анализ изображения
Выражение (7.10) кажется простым, но в приложениях применение его представляет трудности. Нам необходимо, следуя Блан-Лапьеру и Гопкинсу, изучить гармонический анализ изображения, найдя преобразование Фурье функции I (M').
Заменив фактор у в формуле (7.10) его выражением, полученным в § 6, можно написать, вводя точку P на зрачке конденсора и s(P) — распределение энергии на этом зрачке, следующую формулу:
/ (M')= J J J Q (M1) E (M' — M1) Q* (M2) E* (M' — M2) X
X s (P) А [2тг P (M2 - M1)] dPdM^M.2 = = Js (P) { J Q (M1) E (M' - M1) h (— 2тг PM1) dM J- X
X { J ?2* (M2) E* (M' - M2) h(+ 2ті PM2) dM2} dP.
Каждый из интегралов в фигурных скобках представляет гармонический анализ произведения двух функций, и к ним можно применить результаты, полученные в гл. 2, § 4. Обозначая через F(P) распределение амплитуд на зрачке [являющееся преобразованием Фурье функции E (M)] и обозначая через си преобразование функции Q, найдем
J Q (M1) E (М'— M1) h (— 27г PM1) AM1 =
= Jm (P1 — Р) F (P1) h (— 2и P1M') dPu і 142 Часть Ii. Образование изображения протяженных объектов
J 9» (M2) Е* (M' — M2) h (2тг PM2) dM2 =
= J со» (P2 - Р) F* (P2) h (2тг P2 Af) dP2.
Последние выражения приводят к формуле
Jjj В (P) <0 (P1-P) си* (P2-P)F (P1) F*(P2) X
X h [2тг (P2- P1) M'] dP1 dP2 dP.
Если здесь ввести замену переменных P1 = S + (s/2), P2 = S — (s/2), то найдем следующее выражение для 1(М')\
XF* {s- h (— 2т, sM') dPd Sds-
в последнем выражении легко выделить преобразование Фурье і (s) функции / (Mr), определяемое по формуле (3.2), которое равно
і (S)= JJ S (P) u>(s-p + 4)u>*(s-p ---Pj X
X F* (S-±)dPdS,
или (всюду с точностью до множителя), полагая P == = S — Q, получаем
i(s)= j[je(S-Q)f(s + ^) F*(S- -1) ds]x x«(q + (q ~i)dq-, (7.11)
в этом выражении роли прибора (функции в, F, F*) и объекта (функции со, ш*) полностью разделены.
Таким образом, оказывается, что при частично когерентном освещении отсутствует простое фильтрование пространственных частот: еслиш является спектром объекта, то для вычисления спектра i(s) изображения нужно выполнить интегрирование по формуле (7.11). I
Гл. 7. Частичная когерентность
143
§ 10. Случай слабого контраста
Мензел и Сланский обратили внимание на следующее обстоятельство. Если объект имеет слабый контраст, то происходит приближенно фильтрование пространственных частот. Действительно, в этом случае объект можно рассматривать как наложение некоторого равномерного распределения амплитуд и некоторой функции малой амплитуды Q'(M).
Преобразование Фурье tu(s) состоит тогда из функции о (s) Дирака и преобразования о/ (s) функции Q' (M), обладающего также малой амплитудой. В результате получаем
i(s)^i[^(S-Q)F{s + -L) F* (S--L)
dS
X
X [з (Q + T)+u/(<2+T)] + о)'* (q -i)]dq.
Q-i) +
Пренебрегая членами с о/о/* и используя свойства 8-функции, можно переписать i(s) в виде суммы трех членов. Произведение двух 8-функций появляется, если S = 0, и его интеграл равен S(s); произведение §«/* приводит к условию Q = — s/2; аналогично произведение 8ш' приводит KQ = s/2. В результате получаем
і (s) = ^s(S) F (S)F* (S) ds] 3 (s) +
+М*-тИ8+
F* S
dS
+ [^S+i)F(s + i)F> (S-I)
dS
u/(S) +
u)'* ( s); (7.12)
IjrIjtTjr' - 2
эта формула описывает процесс фильтрования, причем множители контраста для частот 0, s, — s выражаются тремя последовательно расположенными интегралами.
Этот результат можно записать и в более симметричном виде, приводящем к двухчленному выражению: первую квадратную скобку можно заменить любым другим выражением, принимающим такое же значение для s = 0. Можно, в частности, в качестве такого выражения взять і 144 Часть Ii. Образование изображения протяженных объектов
полусумму двух скобок, относящихся к частотам + s и — s:
XF(s + ~)F*(S-~)dS (7.13)
и аналогично их разность
это приводит к следующему результату:
і (S) = A (S) [8 (S) + 0)' (S) + 0)'» (- S)] +
+ в (s)p/(s)-7'*(-s) ]. (7.14)
Кроме того, согласно Мензелу (D. Menzel, 1958), чтобы разделить влияние изменений амплитуды и фазы, напишем
Q(M)= I Q I h (ср) = 1 + a (M) + ib (M).
Заметим, что в выражении (7.13) коэффициент при А является преобразованием Фурье выражения
1 + Q' (M) + Q'* (M) = 1 + 2а (M),
а коэффициент при В является преобразованием Фурье функции
