Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть O1(Z) и а2(/)—мгновенные комплексные амплитуды, создающие интерференцию. Ими могут быть, например, амплитуды, излучаемые из отверстий T1 и T2, но определяемые в момент t, когда колебания достигают плоскости экрана Р.
р
Фиг. 57. Гл. 7. Частичная когерентность
129
Амплитуда А, полученная в точке P плоскости наблюдений, может быть написана в виде
A (t)=ai(f)h(^) + a2(t)h(-
если ср — разность фаз, соответствующая разности хода T1—T2 между колебаниями, пришедшими из T1 и T2.
Средняя энергия в точке Р, определяемая разностью фаз ср, будет
AA* = [aih (I) + a2h (-1)^(-1) + fl2*ft(| =aial + a2a*2 + 2R Ja1^ft(Cp)],
где R[] обозначает действительную часть комплексной величины; в последнем члене ср не зависит от времени и можно найти среднее значение только для переменных величин:
X4*=^+^+2R[a^A(<p)]. (7.2)
Таким образом, освещенность в точке P изменяется по полю по синусоидальному закону; если положить
Oifl1-=Pft (в), (7.3)
то переменную освещенность можно представить в виде функции ср следующим образом:
о^а* +a&l + 2р cos (<р + 6).
Таким образом, мы получили полосы, контраст которых можно изучать; освещенность будет максимальна, когда ср + 0 = 2Кк, она равна
ЕM^aIaI +a2a"l + 2 I aIaI I и минимальна при ср + 0=(2/( + 1)и, причем
Em=Ci1Cil +а2а[ —2 Ci1Cit2 | .
Следовательно, контраст полос зависит от величины p= I cl1cc2 I . Рассмотрим два предельных случая.
а) Источники T1 и T2 некогерентны. Для данной величины O1 равновероятны два значения сомножителя
9 Зак. № 5090 і 130 Часть Ii. Образование изображения протяженных объектов
а*2(+а*2 и —а*). Тогда среднее значение Ci1Ci2 равно нулю, т. е. контраст полос равен нулю; полосы могли бы быть заметны, если бы у нас была возможность наблюдать их очень короткое время (порядка т).
б) Источники T1 и T2 когерентны. Предположим, что в каждый данный момент а2 равно palt и допустим также, что источники испускают синхронные колебания р действительно). При этом имеем
=Pajfl=PEl=^E2==YElE2,
освещенность в любой точке поля будет равна, поскольку 6=0, величине
E=E1+ E2+2 YEJZ2 cos ср.
Контраст полос тогда равен
EM~Em ^2 YE1E2
Em +Em E1+ E2
и зависит только от отношения интенсивностей двух источников.
Если источники лишь частично когерентны, то мы определим степень их когерентности отношением
= JigL = Л 4)
Ye1E2 (вівї УКа2а\ )v« ' т. е. величиной, модуль которой не превышает единицу (это следует из неравенства Шварца1').
Имеем при этих условиях
E=E1+ E2+2YW2^Y[h{f)} =
=?,+ ?2+2щ| т i cos(ср + 6).
Следовательно, контраст полос определяется модулем у и максимален, когда | j | равен 1; положение максимумов и минимумов определяется аргументом 0 множителя у.
1JCm., например, A. Angot, Complements de mathematiques, ed. Revue d'Optique (3-е dd), p. 659; J. Bass, Cours de mathe-matiques, Paris, p. 138. Гл. 7. Частичная когерентность
131
Мы назовем у степенью, или фактором, когерентности источников, характеризуемых мгновенными комплексными амплитудами alt а2.
4. Вычисление степени частичной когерентности для двух точек, освещаемых одним источником
Будем предполагать прежде всего, что источники T1 и T2 освещены совокупностью некогерентных колебаний, испускаемых различными атомами некоторого протяжен-
ного источника (фиг. 58), т. е. по существу мы рассматриваем случай освещения отверстий Юнга источником конечных размеров.
Рассмотрим атом, расположенный в точке с условными координатами ?, у. Он испускает колебания, которые можно выразить следующим образом для точек T1 и T2 соответственно, если T2 имеет координаты у, Z относительно T1:
Тогда амплитуды колебаний в точках T1 и T2 можно представить в виде суммы амплитуд колебаний, обуслов-
K
Фиг. 58.
a{t) и a{t)h{— k($y + yz)].
10* і 132 Часть Ii. Образование изображения протяженных объектов
ленных различными г-ми атомами источника:
A1 = 2 мо.
o2=Smoa +tz)].
Получаем
UlOt2 = 2 а) (0 2 а) V)ІгіЩу + vz)];
это выражение можно переписать, разбив на две суммы, соответствующие произведениям амплитуд колебаний в точках T1 и То, обусловленных одним и тем же атомом и двумя различными атомами:
^a2 = 2 ap\h\ЩіУ + T ?)] + 22 Щ ¦ ¦ ¦;
торая сумма будет равна нулю, поскольку она содержит произведения амплитуд от различных атомов, и мы получаем
aIfl2 =2 afl'fi WiU + TiZ)].
Плотность атомов на источнике бесконечно велика, следовательно, эту сумму можно заменить интегралом и написать
O^i2=JJeA [ft + 72)ЫМт, (7.5)
где Sd$d'{ представляет энергию, отнесенную к элементу поверхности источника [в угловой мере е — плотность энергии в единице телесного угла]. Имеем, очевидно,
ца* — а2°С = jj zdfid'i,
так что степень частичной когерентности между точкой T1, расположенной в начале координат, и точкой T2 с
координатами у я z выражается соотношением
^z)=^^—• <7-6>
Следовательно, степень частичной когерентности между двумя точками плоскости, освещенной одним источником, Гл. 7. Частичная когерентность
