Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
последовательными полюсами функция g(m) имеет лишь один нуль, поскольку
производная от g(m) по частоте (c) не обращается в этом интервале в нуль.
Сумма (5.4.5) не была вычислена в замкнутом виде, за исключением
одномерного случая. При исследовании задач, связанных с дефектами,
особенно интересными являются три случая, которые мы и будем в основном
рассматривать:
а) ">><1)1,
Это соотношение выполняется для частот, отделившихся от зоны разрешенных
частот.
б)
Этот случай возникает при вычислении интегралов по мнимой оси при расчете
приращений аддитивных функций частот нормальных колебаний.
в) 0<(c)<(dl
В задачах, связанных с рассеянием звука на дефектах, соответствующая
функция Грина должна удовлетворять условиям излучения на бесконечности.
Вычисление функции Грина в сложном случае 0<ш<ш1., соответствующем зонным
частотам, рассматривается ниже. В случаях "а" и "б" каждое слагаемое
суммы имеет один и тот же знак, и функция g(m) не имеет в этих интервалах
полюсов. Тогда в пределе N-+00 суммирование по индексу Sj можно заменить
интегрированием по переменной Q)=*2nSj/N. Таким
200
Глава V
образом, мы получаем я
, . г с и" cos mivtavi
g(m ) = *-/ ... """,,,
У (5.4.6a)
_/_n -n С С n^cos mfijdQj
------- J ¦¦ ¦} Mx1 + 2 ^ vy (1 - CO. №/) '
(5.4.66)
В одномерном случае матричные элементы g(J) = а\~}\.} могут быть найдены
в явном виде и оказываются равными
->¦>
где co/col.
Для задач рассеяния мы должны сумму в формуле (5.4.5) изменить следующим
образом:
я(т) = ЛГпУ________________ехр (Inis • m/N)________
j ^ Mtf -2 2 Y; О - cos (2ях^)) ± it ' 1 '
где e - малое положительное число, которое в конце вычислений можно
приравнять нулю. Знак перед величиной (в определяется условиями излучения
для g(m) в пределе ш-у+оо. Заменяя в одномерном случае сумму интегралом,
мы найдем, что
g(m) = --~ exps{"1(^)lф) , 0 < ф < 2л, (5.4.9а)
где
<й = ш?81п у (5.4.96)
есть частота падающей волны. Мы видим, что условия излучения на
бесконечности выполнены.
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 201
В трехмерном случае, используя вспомогательную формулу
/(mi, щ, а, р) =
л
__1_ Г Г Г cos /Я181 cos m2Q2 cos m363rfOi rfO"tf83
я * J J J (2+a)P - cosOi - cosOj - acos03 ' 0
a, 0>1, (5.4.10)
функцию gf (га) удобно представить в виде
g(m) = (-1) /(mlt я*,, in,; a, p), (5.4.11a)
p = 2P- 1, "">""?, g (m) = - / (m" /raj, 7Я3; a, p), (5.4.116)
ft == 2/^ -|-1, о-*/(r),
где
Yi = Y2 = it- (5A12)
Подробные таблицы значений интеграла I(mu mit m3; a, p) для большой
области изменения параметров, а также обсуждение его свойств имеются в
работе [228]. В том случае, когда величина
^ = ТИ1-|-ОТ2+-^
очень велика, вспомогательный интеграл /(mi, m2, m3; a, P) имеет
следующую асимптотику:
/ (/щ, щ, щ\ а, р) ~ е*Р[-2(2+а)(Р-1)Я] f (5>4.13а)
Ля у a R
202
Глава V
В общем случае n-мерной решетки мы находим
Ыт)~(-1)га,+ '+гапХ __________
(Ш2-ЛЦ),Мя~3)ехр(-5 У Л1(<о2 -<р2))
А 2'1> ("+1W/*(п_ (у, Yп)',г S'1* (я~1} ' V '
<а><а?,
а(т\ W)'Mn-3)exp(-S /Ш*) /г 4 1Явч
gn (m) ~ 2у,("+1)я1/,(n_l)<Yi Yn)V, s</,(n-1) • (&-4-1
где
n 2
-
УУ
/-1
Трехмерную функцию Грина для задачи рассеяния можно вычислить методом
стационарной фазы в пределе больших mi, m2 и т3. Теория рассеяния на
дефектах волн, распространяющихся в решетке, была развита Лифшицем [182]
и подробно изложена в его обзорной статье [184]. Аналогичная теория
рассеяния электронов проводимости на дефектах в твердых телах была
разработана Костером [210].
Перейдем теперь к рассмотрению функции Грина, которая необходима при
исследовании зонных частот. Мы подробно рассмотрим одномерный случай и
укажем, как можно произвести обобщение на трехмерный случай.
Записав одномерную функцию Грина в виде
g (л; f) = -^дг J _ соГе + cosSs/tf)1 (5-4-14)
где 1 - 2р - cos 0, или
p = sin2^, 0 < 0 < 2я, (5.4.15)
мы видим, что сумму можно вычислить в конечном виде [229] и получить
<5'416>
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 203
Можно легко показать, что формула (5.4.16) переходит в (5.4.7а), если
заменить 0 на я-Иг и перейти к пределу при N-*-оо.
В трехмерном случае при вычислении функции Грина для зонных частот
наиболее удобно переписать эту функцию в виде
g/щ)------L- у cos(2ns-m/AQ _ 1 yi f&p) m
SiS,S, StS2St pa 1 r P
где мы положили ю2=ц и записали различные значения в порядке увеличения
их величины при A,i<A,2< <...<ta. Функция f(hp) определяется как
f (V = 2 cos (2ns • m/ЛГ), (5.4.18)
где сумма по si, S2, s3 берется только по тем значениям, для которых
ю5,,Л = Я,р. Сумма по р в (5.4.17) может быть представлена в виде
интеграла по контуру
е(т) = 1ттш1л"8пг i=W)dz +
+ дгЩ- f О") -^r^ctg яр (ц), (5.4.19)
где С - замкнутый контур (с путем обхода против часовой стрелки),
включающий полюсы типа ctgnz при z= 1, 2, ... , L. Второй член в правой
части (5.4.19) вносит поправку на включение вычета от полюса при H=A,(z)
в интеграл по контуру. Функция р(ц) определена как решение уравнения Яр =
