Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марадудин А. -> "Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении" -> 56

Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.

Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении — М.: Мир, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakrisreshetki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 114 >> Следующая

I" и у, которые встречаются в правой части этого соотношения. Таким
образом, мы получаем совокупность условий самосогласования, имеющих вид
системы линейных однородных уравнений для тех величин Ua (/), которые
непосредственно подвержены влиянию дефекта. Эту систему уравнений можно
записать в матричной форме следующим образом:
u = QAu. (5.3.51)
Условие существования ненулевого решения этой системы состоит в равенстве
нулю ее определителя, т. е.
|1 -ОД | = 0. (5.3.52)
Этот определитель |1 - GA j можно отождествить с определителем |Д(ю) |.
13*
196
Глава V
В качестве примера применения полученных результатов к конкретной задаче
рассмотрим случай одного изотопического дефекта с массой Af'=(l - e)Af,
локализованного в начале координат. В этом случае
и формула (5.3.48) принимает вид
На (/) = Meal2 2 (х (I); <в) мр (0). (5.3.54)
Три соотношения самосогласованности оказываются следующими:
иа (0) == УИесо2 2 О "а (0; ю) Ир (0) (а = х, у, г). (5.3.55) Из формулы
(5.3.49) следует
В случае кубических кристаллов это выражение несколько упрощается.
Поскольку мы вправе предпола-
Так как при наличии кубической симметрии выполняются соотношения Gxx(0;
<o) = Gyy(0, a)=G"(0, ш), то окончательно получаем
Для значений частот ю, превышающих максимальную частоту кристалла,
формулу (5.3.58) можно переписать
Дар = Ьафи'ЬюеМв?
(5.3.53)
гать, что ве лучаем
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 197
в другом виде
6 *L
Gap(0; <¦>) = -$-/ (5.3.59)
о
где g(t)-спектр частот.
Сопоставляя формулы (5.3.58) и (5.3.55), можно видеть, что три уравнения,
определяющие частоты нормальных колебаний возмущенной решетки, сводятся к
одному уравнению
1 = еМ<аЮаа (0; <в), (5.3.60)
так что колебания, связанные с дефектом, оказываются трижды вырожденными.
§ 4. Модели решеток
Хотя мы видели, что в случае кубических кристаллов можно обычно несколько
упростить выражение для функции Грина, однако численная оценка этой
функции требует трудоемких расчетов. Лишь недавно эти функции были
вычислены для реальных моделей нескольких кристаллов [375-377]. Это
привело к тому, что прогресс в исследовании влияния дефектов на
колебательные свойства кристаллов был в значительной мере обусловлен
исследованием одномерных моделей и специального вида трехмерной модели
кристалла, в которой х-, у- и z-компоненты смещений не связаны друг с
другом.
Эта модель изучалась Розенштоком и Ньюэлом [64] и представляет собой
простую кубическую решетку, в которой имеют место как центральные, так и
нецентральные взаимодействия лишь соседних атомов; впоследствии эта
модель была использована Монтроллом с сотрудниками1). Эта модель обладает
тем нереальным с физической точки зрения свойством, что компоненты
смещений вдоль различных координатных осей не связаны друг с другом.
Достоинством модели
>) Следует, однако, отметить, что эта же модель была использована в 1927
г. Валлером [227] при изучении теплового диффузного рассеяния
рентгеновских лучей кристаллом.
198
Глава V
является простота, достаточная для того, чтобы многие свойства ее можно
было изучать аналитически, а не численно; тем не менее с помощью этой
простой модели можно выяснить все качественные черты более сложных
моделей.
Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать как одномерные, так и
трехмерные модели, то удобнее не ограничиваться с самого начала частным
случаем, а рассматривать свойства п-мерной простой кубической решетки.
Уравнение для не зависящей от времени части ."-составляющей смещения
частицы, расположенной в узле (mi.......тп) решетки, имеет вид
МаРи (ш) + 2 УЛ1и (т) = 0" (5.4.1)
*=i
где символ А* определен формулой (3.2.8), М - масса частицы, Yi всегда
будет обозначать силовую постоянную центральных сил, а остальные величины
Yj - силовые постоянные нецентральных сил. Уравнения для других
составляющих смещения вытекают из соображений симметрии. Элементами
матрицы М0(ш) являются коэффициенты при величинах и в этой системе
уравнений. Если принять циклические граничные условия, то обе матрицы
Мо(ю) и М0-1(<в) будут циклическими. Собственные числа и нормированные
собственные векторы
матрицы М0(ю) для этого случая были найдены Мон-троллом и Поттсом [75] и
имеют вид
А," (s) = Ма2 - 2 ^ \j(l - cos , (5.4.2а)
J=i
Ua(m) = ЛГП/2exp(23llsNm). (5.4.26)
где
s = (sj, s2....sn), m = (m1, щ, ..., m"), (5.4.3)
а индексы sj и m} пробегают все значения от 1 до N. Наибольшая частота
нормального колебания решетки сох, определяется соотношением
Mn?L = 4 (Y! + Y2 + • • • + Y"> (5.4.4)
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 199
Элементы матрицы МоЧ(r)) можно представить в виде функций Грина
/щЧ дг-я у____________ехр (2я/(s ¦ m/AQ) _
' ' *4 уИш2 - 2 ^ Yy(l- C0s(2nsj/N))
= a(_I)(/1, i2, .... /, + /"!, /2-f-/ra2..+ (5-4.5)
Функция g(m) как функция частоты ш имеет полюсы в точках, соответствующих
частотам нормальных колебаний невозмущенной решетки. Между этими полюсами
g(m) является аналитической функцией от ш. В интервале между двумя любыми
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed