Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
столбца этого определителя на корень квадратный из массы, входящей в
соответствующий диагональный элемент, и у каждого элемента изменить знак
на обратный, то рассматриваемый определитель будет иметь вид
Л | D - to411, (5.3.15)
где D - динамическая матрица решетки, т. е. матрица, собственные значения
которой имеют смысл квадратов частот нормальных колебаний. Как видно
отсюда, постоянные А и А0, относящиеся к возмущенной и невозмущенной
решеткам, равны произведению масс, входящих в диагональные матричные
элементы определителей |Мш2 - Ф| и |М0ш2 - Ф| соответственно. Из
равенства (5.3.6) следует, что в явном виде определитель |А(ш) | можно
записать в виде
• О О
А -я-r в>7 - о
1Д("")1 = Т-П^-7* (5-3-16)
А> , "о/ -"
и таким образом корни уравнения
| А (<о)| = 0 (5.3.17)
есть частоты нормальных колебаний возмущенной решетки.
Теперь введем обобщенную функцию Г^ш2), определив ее равенством
сV
^((r)2) = -^26(<°2-<й?)- <5-ЗЛ8>
iel
Функция G(co2) есть слабый предел функции IV (со2) В том смысле, что для
всех интересующих нас функций /(ш) выполняется соотношение
Нш Г со/ (со) IV (со2)й?со = Г со/ (со) G (со2)dco. (5.3.19) J J
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 187
Отметим, что соотношение lim IV (и2) = G (со2) не имеет
с**->оо
места, так как функция IV(<*>2) для любого значения переменной ю может
быть равна либо нулю, либо бесконечности. Будем обозначать слабую
сходимость символом =ф; таким образом,
Г*И=ф(?И. (5.3.20)
Функция (cf/cfo) 1п|Д(<й)| непосредственно связана с приращением функции
rV(<o2) вследствие наличия дефектов. Записав эту функцию в виде
1п | А(ш)| = 2"У -,-Ц-2(c)У -^-Ц- (5.3.21)
da Wl а2 - (c); ~ (r)
и вспоминая, что
Гл-((r)2) = i S 6 ("2 ~ =
<=i
= - Нгп1тУ-1-1-------------. (5.3.22)
я МЛ е->о+ (r) - a>i - *е
мы сразу же получаем
^Нт Im In | Д (с>2-/е)|=ф2соД<?К> = Д^Н- (5.3.23)
Более того, функция |А(г)| может оказаться такой, что слабую сходимость
можно будет заменить сходимостью в обычном смысле слова.
Более существенный результат, который справедлив для одномерных и
трехмерных решеток, состоит в следующем: если функцию g(a) можно
разложить при малых значениях переменной ш в ряд
g (ш) = ? а2пш'" = ? со*", (5.3.24)
П=0 л=0
188
Глава V
то приращения коэффициентов а2п вследствие наличия дефектов будут
определяться формулой
да - Ag(g") (0+) (-!)¦ flM(p+) о
аа2п--------TS*(2^)1 (o.d.Jba)
где
Q (ш) = In | А (/со) |. (5.3.256)
Связь между формулами (5.3.23) и (5.3.25) рассматривается в
неопубликованной диссертации Маханти, где приведена также формула,
справедливая и для двумерного случая.
Функция (cf/cfto)ln|A((o) | позволяет также сразу найти приращения
моментов спектра частот. Пусть величина [ со | больше, чем наибольшая из
частот как возмущенной, так и невозмущенной решеток (из теорем Релея
следует, что такая конечная наибольшая частота существует). Разлагая
выражение, стоящее в правой части формулы (5.3.21), в ряд по обратным
степеням переменной ш2, мы получаем, что
d , . л/м -I "/""О/ , \ /Соп*ч
_1п|Д(ш)| = -2Д-^--------------!---gj----!"•••]• (5.3.26)
Так как четные моменты спектра частот определяются формулой
1*2/1 (0?я" i
где <ЛГ-полное число степеней свободы решетки, то формулу (5.3.26) можно
переписать окончательно в виде
= (5.3.27)
Это свойство функции (cf/cfco) 1п | А (со) 1, как производящей функции
для приращений моментов, является особенно полезным при рассмотрении
приращений термодинамических функций решетки в случае высоких температур.
Из формулы (5.3.27) следует еще одно полезное свойство функции (dfda)
InIА(со) |. Поскольку функция
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 189
(cf/cfo) 1п|А(ш)| есть величина порядка ш_3 при |ш|-*оо, то для всех
функций f(a>), которые при |o|->-oo по порядку величины не превышают шг
2-е
(5.3.7)
в качестве контура можно взягь D-об-
(O.iR)
интегрирования в формуле разный контур в правой полуплоскости, т. е.
контур, состоящий из отрезка мнимой оси от iR до -iR и полуокружности
радиуса R в правой полуплоскости с центром в начале (фиг. 22).
В пределе при R-* оо вклад от интеграла по полуокружности обращается в
нуль и остается лишь интеграл по мнимой оси. Контур С можно выбирать и
другим способом [225], однако ниже мы увидим, что указанный выше контур
наиболее удобен для рассматриваемых нами задач. При таком выборе контура
достаточно рассматривать лишь нечетную часть функции f(ia>). Это выте- '
кает из того обстоятельства,
ЧТО функция |А((о)| зави- фиг. 22. Контур интегрирования сит лишь от со2
и, следова- н? комплексной плоскости ш, __ _ ' " . обычно
используемый для вы-
тельно, является четной фун- числения интегралов, являю-кциеи частоты;
поэтому фун- щихся аддитивными функциями кция (cf/c?(o) In [ Д (со) |
есть не- частот нормальных координат, четная функция частоты ш.
Может показаться, что контур, изображенный на фиг. 22, неудобно
использовать для вычисления приращений термодинамических функций решетки
