Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
одномерными задачами, и с его помощью можно однозначно исследовать
дефекты в одномерных, двумерных и трехмерных решетках, хотя, конечно,
применение его для решения трехмерных задач с необходимостью вызывает
большие вычислительные трудности. Достоинства и недостатки этого метода
будут ясно видны из последующего изложения.
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 183
Обозначим через (c)i, (c)2. • •. частоты нормальных колебаний кристаллической
решетки с дефектами. Эти частоты являются корнями характеристического
уравнения, которое мы запишем в виде
| М (ш) | - 0. (5.3.1)
Хотя для удобства мы представляем М(ш) как функцию от частоты ш,
эта функция зависит фактически от
ш2, так как именно квадрат частоты входит в уравнения
движения решетки. В дальнейшем мы будем в основном вычислять различные
аддитивные функции частот нормальных колебаний
5=2/(Ы (5.3.2)
Нулевая энергия решетки представляет собой функцию S, для которой f(a) =
fio/2. Преобразование Фурье спектра частот соответствует случаю /(со) =
- е/Г~х exp(iao2), где JV* - полное число степеней свободы решетки;
термодинамические функции решетки (свободную энергию, удельную
теплоемкость) также можно записать в виде аддитивных функций частот
нормальных колебаний. В частности, свободной энергии соответствует
функция f (ш) -kT In {2sh (Л <al2kT)}.
Используя хорошо известный результат теории контурных интегралов, можно
представить функцию S в другом виде как
S = ?/("V) = //(2)dln|M(2)|, (5.3.3)
J с
где С - произвольный замкнутый контур, который обходится в направлении
против часовой стрелки и внутри которого заключены все нули функции
|M(z)| и нет ни одного из полюсов функции f(z). В том случае, когда это
последнее условие не выполнено, рассматриваемый метод надо несколько
видоизменить.
Запишем теперь матрицу векового определителя, М(ш) в виде суммы двух
квадратных матриц
M((o) = M0(co) + 6M(ffl),
(5.3.4)
184
Глава V
где Мо(ш)-матрица векового определителя для решетки без дефектов, а
бМ(со) учитывает возмущение, вызванное наличием дефектов. Матрицу М(ш)
можно также записать в более удобном для нас виде
М (со) = М0 (со) [I + Мо-1 ((r)) • 6М (")] =
*= М0 (се) [I + D (ш)] =
= М0 (со) Д (со). (5.3.5)
Эти равенства определяют матрицы D(ce) и Д(ш). Поскольку определитель
произведения матриц равен произведению определителей сомножителей, то
|М(ю)| = |Мо(ю)||А(ю)|. (5.3.6)
Подставляя это выражение для определителя |М(св)| в формулу (5.3.3.), для
величины AS (приращения величины S вследствие наличия в решетке дефектов)
мы получим окончательно следующее выражение:
Д5 = -^ f f{z)dIn \ A(z)\. (5.3.7)
с
Приращение аддитивной функции S, соответствующее одному дефекту,
расположенному в некоторой точке а, равно
Д5" = 2la ff d ,n I д" W I- (6-3-8)
с
Эту величину можно рассматривать как "собственную функцию S дефекта".
"Функция S взаимодействия" пары дефектов, расположенных соответственно в
точках а и Р, определяется как разность между величинами S для системы с
двумя взаимодействующими дефектами и с двумя изолированными дефектами и
оказывается равной
Д5ор =-ы f f (z) d\П | Дц(г)^| Др (г)| ' (5>3>9)
Если обозначить элементы матриц М0(со), Мо^ш) и
бМ(со) соответственно через [ац)> Mj'l И Iе'/}
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 185
(здесь индексы i и / представляют собой сложные индексы, которые в общем
случае содержат индексы вектора элементарной ячейки, декартовы индексы
компонент векторов смещений и индексы узла в ячейке), то матричные
элементы матрицы А (и) определяются формулой
Д"-"" + ?"fc'V (5.3.10)
Если, например, при введении дефекта изменяется лишь один матричный
элемент матрицы Мо(ш), т. е. если е0а Ф 0, а остальные величины гц
обращаются в нуль, то
^lj~blj~\-a№\jeaa (5.3.11)
|Д(ш)| = 1+а(а-'>еаа. (5.3.12)
В общем случае порядок определителя |Д(со)| равен числу степеней свободы
решетки, подверженных влиянию дефекта, и если дефектов мало и они
локализованы, то этот порядок будет малым; в этом состоит преимущество
определителя |А(со)| по сравнению с |М(<о)| - полным определителем
возмущенной задачи.
Таким образом, мы видим, что матрица А(ш) играет существенную роль в
рассматриваемой теории, и поэтому мы сейчас обсудим некоторые основные ее
свойства. Определители |М(ш)| и |М0(ш)| могут быть записаны в следующем
виде:
|М(ю)| = Л Ц("2 - ю2), (5.3.13а)
|М0 (">) | = А0 Ц ("& - со2), (5.3.136)
где (c)i и (c)о{ - частоты нормальных колебаний возмущенной и невозмущенной
решеток соответственно. Постоянные А и Л0 появляются следующим образом.
Обычно уравнения движения решетки, не содержащие явно времени,
записываются в виде [см. уравнения (2.1.8)]
(Мш2 - Ф) и = 0, (5.3.14)
186
Глава V
где М - диагональная матрица, матричные элементы которой представляют
собой массы частиц, расположенных в отдельных узлах решетки.
Определитель, стоящий в левой части характеристического уравнения, и есть
определитель |Мш2 - ф|. Если разделить элементы каждой строки и каждого
