Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
(совокупности близко расположенных частот нормальных колебаний) и что это
возможно только для крайних частот зоны.
Последний существенный вывод из предыдущего заключается в том, что за
исключением тех частот, которые выпали из зоны, все частоты могут
сместиться вверх или вниз не более чем до ближайшей невозму-щениой
частоты.
§ 3. Математическое введение
При изучении влияния дефектов на колебания кристаллической решетки
основной интерес представляют три задачи. Первая задача - определение
влияния дефектов на отдельные частоты нормальных колебаний, расположенных
в зонах разрешенных частот, и на соответствующие им собственные векторы;
вторая задача - определение частот локальных колебаний около дефекта,
которые выпали из полос разрешенных частот, и соответствующих им
собственных векторов; третья задача - расчет обусловленных наличием
дефектов приращений различных аддитивных функций частот нормальных
колебаний. Все эти задачи взаимосвязаны, поскольку, как увидим ниже, при
использовании математического аппарата, позволяющего вычислять приращения
аддитивных функций, в качестве побочного результата получаются также и
значения возмущенных частот. Наше
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 181
рассмотрение будет относиться к модели с короткодействующими силами.
Теоретически можно произвести обобщение и на решетки с дальнодействующими
силами, однако при этом возникают практически непреодолимые
вычислительные трудности.
Первая из перечисленных выше задач представляет собой, пожалуй,
наименьший интерес, и ей посвящено наименьшее число исследований. Эта
задача рассматривалась в короткой заметке Лакса [223], который получил
формальное решение с помощью метода, напоминающего рассматриваемый ниже
метод функции Грина. Однако решение Лакса в случае трехмерного кристалла
является только приближенным. Лифшиц [374] получил выражение для смещения
зонных частот, обусловленного изотопическими дефектами; несколько позже
Ма-радудин [369] вывел аналогичное выражение. Однако наиболее полные
расчеты этого смещения были выполнены для одномерных кристаллов. Монтролл
и Поттс [185] и Мазур •) при помощи теории возмущений рассчитали смещения
зонных частот соответственно в мо-ноатомных и двухатомных линейных
цепочках. Единственный точный расчет смещений зонных частот был
произведен лишь для случая одномерной решетки. В работе [185] исследовано
влияние на зонные частоты одного и двух изотопических дефектов в
моноатомной линейной цепочке. В работе [186] произведен аналогичный
расчет изотопического дефекта в двухатомной линейной цепочке. Эти расчеты
были обобщены Бьёрком [224], который учитывал также и изменение силовых
постоянных пружин, связывающих дефект с его двумя ближайшими соседями.
Все эти расчеты были произведены при помощи метода зацепляющихся
уравнений, в котором сначала по каждую сторону от дефекта строятся
произвольные решения, удовлетворяющие граничным условиям на своих концах
цепочки, а затем параметры в этих решениях определяются из условий
сшивания в точке, где расположен дефект. Однако этот метод нельзя
распространить на двумерные и трехмерные задачи. Мы не
*) P. Mazur, Thesis (1957), ие опубликовано.
182
Глава V
будем обсуждать здесь этот вопрос, так как он подробно рассмотрен в
цитированных работах.
Хори и Асахи [194] разработали изящный способ (метод "матриц переноса")
расчета зонных частот неупорядоченных линейных цепочек; при помощи этого
способа они уточнили результаты более ранних работ и, кроме того,
получили ряд новых данных. Способ Хори - Асахи, основанный на методике,
использованной впервые Кернером [213] при исследовании электронных
энергетических уровней как периодических, так и неупорядоченных
двухкомпонентных линейных решеток, также нельзя обобщить на двумерные и
трехмерные задачи. По этой причине, а также потому, что результаты,
полученные Хори и Асахи и их предшественниками, весьма легко получить при
помощи изложенного ниже метода функции Грина, мы не будем обсуждать эти
работы, а обратимся к задаче вычисления приращений аддитивных функций
частот нормальных колебаний для решеток с дефектами. В расчетах этого
типа, как мы увидим ниже, попутно получаются частоты нормальных колебаний
возмущенной решетки независимо от того, находятся ли эти частоты внутри
зоны или вне ее. Способ решения этой задачи, преимущественно используемый
нами в дальнейшем изложении, состоит в применении метода функции Грина,
который в последнее время весьма успешно использовался различными
авторами для исследования широкого круга таких задач физики твердого
тела, в которых рассматриваются примеси или дефекты в кристаллических
решетках. Преимуществом этого метода по сравнению с обычной теорией
возмущений является то, что он позволяет, по крайней мере формально, а во
многих случаях и по существу получить точное решение рассматриваемой
задачи. Кроме того, область применимости этого метода не ограничена
