Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марадудин А. -> "Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении" -> 51

Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.

Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении — М.: Мир, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakrisreshetki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 114 >> Следующая

§ 2. Теоремы Релея
Анализ влияния дефектов на колебания кристаллической решетки
целесообразно начать с краткого обсуждения теорем Релея, которые были
упомянуты во
176
Глава V
введении к настоящей главе. При изложении мы будем следовать работе [73].
Более детальные сведения читатель может иайти в книге Релея "Теория
звука" [42].
Выразим кинетическую и потенциальную энергии системы связанных
осцилляторов через вещественные нормальные координаты
т т
Т = ^ = (5-2-1)
j=i
Квадраты частот нормальных колебаний в этом случае определяются формулой
Допустим теперь, что система изменилась так, что величины Т и V получили
приращения
W =4<x(f A + f*&+ • • • +fmQm)2 (5.2.3а)
и
M'=4?(W' + Mb+ • • • +fmQmf (5.2.36)
соответственно. Если мы положим \ = 0 и а = М) -
- Мр то изменение кинетической энергии будет соответствовать
изменению массы /-го осциллятора от М] до M'j-C другой стороны, изменение
одной из силовых постоянных может соответствовать условию а=0 и у ф 0.
Условие а=0, у=оо соответствует наложению на систему такой связи, что
/lQl Н- /2Q2 ~f- • • • +fmQm = 0> (5.2.4)
поскольку для всех конфигураций с другим значением суммы %fjQj
потенциальная энергия будет бесконечной и, следовательно, все такие
конфигурации невозможны. Условие, что центр масс решетки с одной степенью
свободы на каждый узел закреплен неподвижно, можно представить в виде
(5.2.4) путем соответствующего подбора величин fj. Для решетки с тремя
степе-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 177
нями свободы на каждый узел требуется три таких соотношения.
Если положить Qi = Ujeiat, то уравнения движения искаженной решетки могут
быть записаны в виде
(~Mi <*2 + cl)u1 + fl(y-(m2)(flul + f2u2+...) = 0, (-Ai2(c)2-fc2)"2 + /2(y
- CKo2)(/1"i + f2"2+...) = 0. ( ' '
Чтобы получить характеристические уравнения для определения частот
нормальных колебаний, умножим первое из уравнений (5.2.5) на fi/(ci -
Mico2), второе на Ы(с2 - М2(о2) и так далее; сложив результаты, получим
F ((r)2) = У1Т-Т--------Н----Г- = 0- (5-2.6)
Mjsr - Cj а(r) - y
Числитель функции F(со2) представляет собой полином степени m
относительно со2, и, следовательно, функция F(a>2) имеет m корней. Пусть
е - малое положительное число. Тогда
F(">) - е)->- оо, е->0,
^(ю2 + е) -> оо, е -> 0. (5.2.7)
Итак, если со2 < < ... < ю2 < со2 < а2+, < ... < со*,,
где cog = Y/a, то из (5.2.7) следует, что функция F((c)2) будет менять знак
в каждом из интервалов (ю2, со2), (со2, ю2), ..., (cog, со2), (со2^,
со2), ..., (со2и, <_,).
Следовательно, в каждом из этих интервалов находится квадрат частоты
нормального колебания. Изменение, описываемое формулами (5.2.3),
заставляет каждую
из величин ю2 смещаться в направлении к со2. Каждая новая частота
оказывается лежащей между парой соседних частот невозмущенной системы, и
лишь в интервал ((Oj, (c)5+1) попадают две частоты.
Рассмотрим теперь несколько частных случаев, представляющих интерес в
задачах о колебаниях решетки.
1? 3"". 1491
178
Глава V
Мы будем рассматривать такие изменения масс и силовых постоянных, которые
не нарушают при малых колебаниях стабильности решетки. Иными словами, мы
3
и.
Фиг. 19. Графики функций Fi(и) и -1/v (пунктирные линии)
для YigO-
Точки пересечения кривых определяют возмущенные частоты.
Л2
предполагаем, что величина "И всегда положительна.
(5.2.8)
Если записать уравнение (5.2.6) в виде F(tf) = Fl(<*2)-F2(<**),
где
t2 |
Л ((О2) = 2 м J_ . F3 ((О2) = Y_ae)S.
/=" 7
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 179
то нули функции F(co2) можно найти графически, рассматривая пересечение
кривых, соответствующих Fi(<o2)
\ а<0 \ \ S ч N. \ N, V IV [V L
г\ / \ /а>0 ] у*" \ Pi 11 п шг
Ф и г. 20. Графики функций F, (а2) и - 1/а"2 (пунктирные кривые)
для а^О.
и /Мю2). Вид кривой, соответствующей Fi((c)2) для т=6, показан на фиг. 18.
а. Если положить <х=0, y>0, т0 график функции f2((c)2) будет
представлять собой прямую, изображенную на фиг. 19 пунктиром. При y->°°
эта прямая приближается к оси абсцисс. Рассматривая точки пересечения
пунктирной прямой с кривой, соответствующей Fi((c)2), мы видим, что в
случае <х = 0, у>0 все частоты возрастают. Заметим, что только одна
частота выходит
12*
180
Глава V
из интервала невозмущенных частот (со^, ю^). При Y->oo эта частота также
стремится к бесконечности.
б. При а = 0 и v<0 все частоты уменьшаются.
в. При y=0 получим Рг(<о2)=-(сею2)-1; график этой функции схематически
изображен на фиг. 20 пунктирной линией в четвертом квадранте при а>0 и в
первом квадранте при а<0. Таким образом, все частоты уменьшаются при а<0
и увеличиваются при а>0.
г. Если y>0 и а>0, то функция Р2(<о2) положительна при малых со2,
отрицательна при больших со2 и терпит разрыв при (c)2=y/cc. Это показано на
фиг. 21, откуда видно, что квадраты всех частот смещаются по направлению
к критической величине у/а.
Отметим, что в случаях "а" и "в" одна частота выпала из зоны частот
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed