Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
6М, то все частоты либо не изменятся, либо увеличатся на величину, не
превышающую расстояния до соседней невозмущенной частоты, т. е. на
величину порядка N~a, где N - число всех масс в системе, а а зависит от
размерности решетки. Это справедливо для всех частот, кроме частот,
относящихся к верхнему краю каждой полосы. Последние возрастут на
величину, пропорциональную (бМ)2 (если величина бМ мала) и не зависящую
от N (если число масс N велико). Эти отделившиеся от зоны частоты
являются частотами локальных колебаний. Увеличение одной из масс на
величину бМ либо не изменяет частот, либо понижает их на величину, не
превышающую расстояния до соседней снизу невозмущенной частоты. Так как
наинизшая частота равна по порядку величины JV-e, то локальные колебания
в этом случае могут возникать только из тех нормальных колебаний, частоты
которых лежат на нижних границах каждой из оптических ветвей. Увеличение
(уменьшение) одной из силовых постоянных равносильно уменьшению
(увеличению) одной из масс.
В этой главе мы рассмотрим общую математическую теорию влияния дефектов
на колебания решетки и приведем различные количественные и качественные
физические результаты. Исследования, проведенные в этой
174
Глава V
области в течение последних нескольких лет, дают все основания для
написания такого обзора. Однако в связи с неослабевающим интересом к этим
проблемам настоящий обзор нельзя рассматривать как окончательный.
Первые исследования влияния дефектов на колебания решеток были выполнены
Лифшицем [179-183] и его сотрудниками, но большая часть этих работ не
была известна последующим исследователям (дополнительные ссылки на
русскую литературу можно найти в статье Лифшица [184]). Аналогичные
исследования были выполнены Монтроллом и его сотрудниками в Мерилендском
университете [75, 185, 186]. Существенно, что в этих работах выбирались
модели, достаточно простые для того, чтобы для них можно было получить не
только качественные, но и количественные ответы на интересующие вопросы.
Следует также отметить работы Литцмана [187-191], посвященные теории
дефектов.
Проведенные недавно Дайсоном [69] исследования спектра частот линейной
цепочки, содержащей случайные дефекты, вызвали заметный интерес к
динамике неупорядоченных решеток [131, 192-207]. Этот интерес вызван в
первую очередь тем, что подобные расчеты для двухкомпонентных решеток
дают нам сведения о той части вклада от колебаний в свободную энергию
(Гельмгольца) !), которая обусловлена случайным распределением дефектов
или неупорядоченностью бинарных сплавов [204, 205]. Эти сведения
позволяют точнее оценить равновесное число дефектов в решетке в
зависимости от температуры и точнее определить положение точки Кюри
упорядочивания бинарных сплавов. Такого типа расчеты были выполнены
Стриппом и Кирквудом [204]; с помощью теории возмущений они рассчитали
изменение свободной энергии кристалла, вызванное случайно распределенными
вакансиями. Однако использование теории возмущений при вычислении
аддитивных функций частот нормальных колебаний может привести
') В дальнейшем вместо термина "свободная энергия Гельмгольца" мы будем
писать всюду "свободная энергия", а там, где это не может вызвать
недоразумения, просто "энергия", - Прим. ред.
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 175
к тому, что вклад локальных колебаний не будет учтен [185].
Теория колебаний неупорядоченных решеток была также использована
Пригожиным, Бингеном и Джине-ром [206, 207] для рассмотрения проблемы
разделения изотопических смесей на две фазы при очень низких
температурах.
Теория колебаний кристаллических решеток в большой мере аналогична
приближению сильной связи в квантовой теории твердых тел [44]. Поэтому не
удивительно, что методы изучения проблем первой теории оказываются
полезными во второй и наоборот. Костер и Слэтер [208-210], используя
локализованные функции Ванье, рассмотрели влияние примесей на электронные
состояния в кристаллах; влияние дефектов на электронные состояния в
линейной цепочке было несколько ранее рассмотрено Саксоном и Хатнером
[211], Латтин-жером [212] и Кернером [213]. Сравнительно недавно
Парментер [214, 215], используя теорию возмущений, изучил влияние
случайно распределенных компонент на электронные энергетические уровни
сплавов; Джеймс и Гинзбарг [216], Ландауер и Хелланд [217], Лаке и
Филлипс [218, 219] произвели с помощью машин расчеты влияния
неупорядоченности на электронную зонную структуру линейных цепочек.
Дальнейшие работы об электронных энергетических уровнях в неупорядоченных
кристаллах были опубликованы Фришем и Ллойдом [220] и Клаудером [221].
В последних работах Марадудина [368-371], Людвига [372] и Лифшица [373]
рассматривается влияние точечных дефектов и разупорядоченности на
колебательные свойства кристаллов.
Обзор теории взаимодействия точечных дефектов в приближении континуальной
модели твердого тела был сделан Эшелби [222].
