Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
был разработан Уолкот* том [168].
Как мы уже отмечали выше, коэффициент а4 в раз* ложении (4.2.2)
недостаточно подробно исследован, так как его вычисление требует
определенных предположений о модели межатомных сил в кристалле. Недавно
Маркус1) выполнил трудоемкий численный расчет величины С(ги г2),
непосредственно связанной с коэффи-
¦) Р, М. Marcus, частное сообщение (1961).
170
Глава IV
циентом а4 и входящей в выражение для 0D при низких температурах
еп (Г) I Т \2
-^==l_C(r1,r2)(-g-w) + ..., (4.2.15)
где гi= (сн - с12)/2сц и г2 = с44/сц.
Фиг. 17. Графики кривых постоянной кривизны С(г1( г2) эквивалентной
дебаевской температуры (Г)/0О (0) = 1 - С [7'/в?) (О)]2 для
объемноцентрированных кубических решеток с взаимодействием между
ближайшими соседями при Т = 0.
Параметры Г| и га определяются равенствами г,=(Сц - Сц)/2сц, rt=c,Jclt.
Соотношение, связывающее C(ri, г2) с с4, имеет вид
ГЧг гЬ- ^ а<
С(Г"' 2' 21 I Ь ) at'
Вычисления Маркуса были выполнены для гранецентри-рованной кубической
решетки с взаимодействием между
Вычисление термодинамических функций 171
ближайшими соседями. Такая модель описывается тремя независимыми силовыми
постоянными, что соответствует трем независимым упругим постоянным
кубического кристалла. Результаты расчетов Маркуса приведены на фиг. 17.
Видно, что для свинца величина Гг) отрицательна; это согласуется с
результатами, полученными ранее Хортоном и Шиффом [165].
Недавно Иоши и Митра [169] опубликовали таблицы характеристических
дебаевских температур для двадцати девяти кристаллов, принадлежащих
кубической, гексагональной, тетрагональной и тригональной системам.
Вычисления были выполнены в основном с по-1 мощью метода Хаустона,
обобщенного Беттсом и др. [134, 167], а также с помощью численного метода
Делоне [4]. При расчете использовались экспериментальные значения упругих
постоянных. Однако согласие между вычисленными и экспериментальными
значениями 0 получилось не во всех случаях достаточно хорошим. Фто,
возможно, связано с тем, что в вычислениях были использованы значения
упругих постоянных, измеренных при комнатных температурах, а не при 0е К.
Наиболее полные таблицы экспериментальных значений дебаевской температуры
составлены Холмом [170]. В них приведены дебаевские температуры
большинства элементов, а также большого числа соединений. В этой работе
имеется библиография оригинальных работ.
ГЛАВА V
ВЛИЯНИЕ ДЕФЕКТОВ И НЕУПОРЯДОЧЕННОСТИ НА КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ
§ 1. Введение
Предыдущее рассмотрение колебаний кристаллической решетки относилось
только к совершенным кристаллам. Однако значительная часть современных
исследований в физике твердого тела посвящена изучению влияния дефектов и
неоднородностей на свойства кристаллов. Типичные дефекты и неоднородности
- это вакансии, примеси, нарушения упорядоченности, дефекты упаковки,
дислокации. Сейчас едва ли кто-нибудь удивится, обнаружив, что небольшое
число дефектов приводит к поразительным макроскопическим явлениям.
Известно, что примеси в магнитных материалах изменяют время релаксации на
несколько порядков [171]. Явления переноса, такие, как электро- и
теплопроводность, существенно зависят от рассеяния электронов или фононов
на дефектах [172, 173]. Поверхностный катализ может быть обусловлен
нерегулярностями и примесями на поверхности твердых тел [174].
Электрические свойства полупроводников определяются локальными
электронными примесными уровнями, лежащими в запрещенной энергетической
полосе между валентной зоной и зоной проводимости кристалла [175].
Притяжение вакансий к границам зерен и к линиям дислокаций, по-видимому,
вызывает появление полостей, а это приводит к ползучести и усталостным
явлениям в металлах [176]. Локальные нормальные колебания около дефектов
могут являться источниками таких сферически несимметричных полей, в
которых возможны обычно запрещенные переходы (именно такими могут быть
некоторые переходы. связанные с люминесценцией) [177].
Введенные в кристаллическую решетку дефекты влияют на частоты нормальных
колебаний решетки дво-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решеткиМЗ
яким образом: частоты внутри разрешенных зон несколько смещаются, а
небольшое число частот, лежавших ранее вблизи краев зон, может перейти в
запрещенные полосы. Эти исключительные частоты, претерпевающие иногда
значительные смещения, соответствуют нормальным колебаниям, амплитуды
смещений которых быстро убывают по мере удаления от дефекта.
Рассматриваемые нами в этой книге модели кристаллических решеток могут
быть представлены как периодические наборы масс, связанных друг с другом
упругими пружинами. Характер изменения частот нормальных колебаний такой
динамической системы при изменении масс и (или) пружин был сравнительно
давно изучен Роутом [178] и Релеем [42]. Результаты этих исследований
сформулированы в виде теорем, известных в настоящее время как "теоремы
Релея". В них утверждается, что если одну из масс уменьшить на величину
