Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
Солтером [160] и позднее в несколько модифицированной форме Домбом и др.
[131]. Энергия нулевых колебаний пропорциональна
Вычисление термодинамических функций 163
2 в то время как вековой определитель являет-
ся функцией квадратов частот нормальных колебаний. Поэтому можно было бы
найти выражение для энергии нулевых колебаний, если бы был известен
квадратный корень из динамической матрицы. Так как вычисление квадратного
корня из динамической матрицы представляет значительные трудности, мы
воспользуемся равенством
Тогда для энергии нулевых колебаний, отнесенной к одной степени свободы,
E0!ZrN, получим (если |*|<1)
где f(x)-безразмерная функция распределения частот, f(x)=(r)Lg((r)L,x).
Величины Угп могут быть выражены через четные моменты
В тех случаях, когда можно найти выражение для функции распределения
частот при низких частотах (либо с помощью метода возмущений, либо по
методу Хаустона), оказывается возможным улучшить результат, даваемый
формулой (4.1.11). Обычно в нашем распоряжении имеется конечное число
моментов, например т, так что в разложении (4.1.11) можно определить
только конечное число членов. Поэтому желательно иметь поправку,
учитывающую отброшенные члены разложения.
И = У1-(1-л?).
w=Ti-J'v'1IWx=
о
<l-xTf(x)dx =
(4.1.11)
П
(4.1.12)
И*
164
Глава IV
С этой целью мы заметим, что если f(x) разлагается в ряд
f (Х) = с0+с2х*+с<х*+ ... (4.1.13)
(как это имеет место для одномерной и трехмерной решеток), когда с0=0),
то 1
- х2)"(с0-+с^х2+ctx*-(- ...)dx=
о
с" Г (1/2) я! , с2 Г (3/2) л! ,
2 Г (л+ 3/2) "I- 2 Г (л+ 5/2)
__с4 Г (5/2) я I . .. у . .v
^ 2 Г (л + 7/2) ^----------
Если это выражение для v2n при я>т+1 подставить в
(4.1.11) и учесть, что первые т членов могут быть выражены через
моменты, то получим
\ haL
3rN 2
ПшО \п1
_________Cj_____________________Cj____________, I
4(2m+l)(2m + 3) 2(2m + l)(2m + 3)(2m + 5) *' * j'
(4.1.15)
§ 2. Метод Хаустона
Рассмотренные до сих пор методы вычисления термодинамических величин,
основанные на использовании моментов, наиболее эффективны для определения
значений этих величин при высоких температурах. Для определения
низкотемпературных значений термодинамических величин оказалось полезным
приближение, основанное на методе Хаустона [161].
При низких температурах выражение для удельной теплоемкости (3.1.76)
имеет вид б>
L (c)о
Cv(T) = 3rNk J (-^-)22 м-пШкТё((r)) d(i>- (4.2.1)
О л"1
Вычисление термодинамических функций 165
При низких температурах экспоненциальный множитель всюду мал, кроме
области малых со. Поэтому достаточно рассмотреть только низкочастотный
конец спектра. Как мы покажем ниже, разложение в ряд функции g(co) при
малых значениях со имеет вид (для трехмерного кристалла)
g((c))=a2(c)2-f-a4(c)4-f- • • • • (4.2.2)
Если этот ряд подставить в формулу (4.2.1) и верхний предел
интегрирования устремить к бесконечности, то получим
Ср(Т)~ЗгЫк[%-{Ц-)\ (-*?.(.?)8а4 + •••]• (4-2.3)
Легко показать, что это разложение является асимптотическим. Коэффициенты
аг, "4, ••• могут быть определены следующим образом. Мы видели (см. гл.
II, § 1 и 2), что без потери общности можно положить со2(к) = (c)5(-К)-
Согласно сделанному выше замечанию, для получения удельной теплоемкости
при низкой температуре нам надо рассмотреть только акустические ветви
спектра, для которых частоты стремятся к нулю одновременно с вектором к.
Из формулы (2.1.54) следует, что при стремлении вектора к к нулю основной
член в разложении функции со^ (к) имеет порядок к2. Тогда для малых
значений к мы будем иметь
(c)5 (к) = С2 (0, <р) к2 Ч- Щ (0, Ф) * ¦+ • • •, (4.2.4)
где коэффициенты Cj и D} обладают симметрией решет-
ки. Обращая уравнение (4.2.4), мы находим функцию распределения
собственных частот, отнесенную к единице телесного угла, для /-й ветви
спектра
/ л \ 1 Г (r)* 5 z>5(e, <р) -I
> Ф) 3rV [ с) (0, <р) 2 С) (0, <р) " '"'J *
(4.2.5)
где V - объем элементарной ячейки обратной решетки. С помощью (4.2.2),
(4.2.5) и (3.5.14) мы, таким образом,
166
Глава IV
находим
аА
Применимость метода Хаустона для вычисления этих интегралов очевидна.
Первый член в (4.2.3} обычно записывают в виде
Ср=^гЛЛ%(|)3. (4.2.7)
Параметр 0 называют дебаевской характеристической температурой. Сравнивая
(4.2.3) и (4.2.7), мы видим, что
Я 2я
1 k3 1 / k \3 г f Sin 0 rf0 rfq> 0 Q4
? = (4'2'8) Определение дебаевской температуры 0 с помощью метода
Хаустона, по-видимому, впервые было предложено Батиа и Таубером [162], а
соответствующие вычисления были проведены Тенерцем [163].
Применяя метод Хаустона для вычисления интегралов (4.2.6) и (4.2.8),
Беттс и др. [134] определили де-баевскую температуру 0 для девяти
кубических кристаллов. Коэффициенты Cj(0, <р) равны скоростям трех
упругих волн, распространяющихся в заданном направлении (0, ф). Это
позволило Беттсу и др. выразить величины СД08ф,) для шести направлений в
пространстве обратной решетки через упругие постоянные кристалла.
Найденные ими значения дебаевской температуры находятся в хорошем
