Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
решеток, функции распределения частот которых тогда не были известны. В
современном изложении метод Тирринга выглядит достаточно просто. Если
задана матрица М с собственными значениями {coj}, то любая аддитивная
аналитическая функция собственных значений может быть записана в виде
[см. (2.2.18)]
2f("V) = Sp/(M). (4.1.1)
Функцию f(z) можно разложить в ряд Тейлора. Поэтому для получения
значения всей суммы достаточно найти следы последовательных степеней
матрицы М и затем подставить их в ряд. При этом должно выполняться
условие, что абсолютная величина максимального собственного значения
меньше радиуса сходимости ряда. Удельная теплоемкость при постоянном
объеме
160
Глава IV
определяется формулой CV(T) = (<??(Т)fdT)v, где1)
Для разложения в ряд второго члена в правой части
(4.1.2) можно воспользоваться формулой
Л=1
где В^п - числа Бернулли
В2=-g. 54 = ж, ^б = 42> ^8= зо '
я-А " -Ж. р <4Л'4>
10 66 ' 12 2730 ' 14 - 6......
Меняя порядок суммирований, находим
(4.1.5)
Д"1
где Q = ha>IJk и
3rN / щ. \2л 1
= i^FSp(in (4-1.6)
"2п - безразмерный момент спектра порядка 2л. Таким образом можно найти
выражение для удельной теплоемкости в виде ряда по обратным степеням
температуры. Ряд (4.1.5) сходится при Г>9/2я. Это ограничение обусловлено
конечностью радиуса сходимости ряда
(4.1.3). Для большинства металлов величина 6 порядка 300° К, так что
радиус сходимости ряда Тирринга приблизительно равен 50° К.
При применении этого метода использовалось небольшое число моментов, не
больше 10. При этом сходимость ряда Тирринга практически была ограничена
зна-
') В дальнейшем для упрощения обозначения частоты нормального колебания
волновой вектор к н номер ветви j заменим одним индексом /.
Вычисление термодинамических функций 161
где
чениями 7'>20/(Зя). Для более низких температур убывание членов в отрезке
ряда недостаточно быстрое, чтобы можно было заменить им весь ряд. Недавно
была сделана попытка найти аналогичное разложение, пригодное для любых
значений Т. Такое разложение было найдено с помощью формулы суммирования
Эйлера [157]. Полученный результат имеет вид
Йг-1+g (-D"(^)W
" (2я -!) Д2л"2п / \Ъ
Уп~ (2п)! \HT7I (4.1.8),
Д°Уп = Уп> Al+V" = AV"+1-AVn. (4.1.9)^
Параметр Ть всегда может быть выбран так, чтобы получившийся ряд был
сходящимся. Этот факт сам по себе не имеет большого практического
интереса. Гораздо существеннее, что при фиксированном числе моментов
можно найти разложение для CV(T), которое сходится при более низких
температурах, чем обычный ряд Тирринга. Если использовать восемь четных
моментов, то это разложение практически сходится по крайней мере до
температур Т ~ 0/8.
Подобный результат может быть также получен с помощью нелинейного
преобразования [158]. Если через S" обозначить частичную сумму п членов
ряда (4.1.5), то из последовательности Sit S2, ... можно образовать новую
последовательность по формуле
S'.-• (4-1.10)
Л>" - Ол+1 -а"_|
Это преобразование следует повторять до тех пор, пока не получится
сходящаяся последовательность. Этот способ, по-видимому, не имеет какого-
либо преимущества перед методом суммирования Эйлера.
И Зак. 1491
162
Глава IV
Другим способом, который успешно применялся для вычисления удельной
теплоемкости, является метод приближения полиномами [отличными от
частичных сумм ряда Тейлора (4.1.3)] с последующей подстановкой в
получившуюся формулу моментов спектра [159]. Подробное изложение этой
работы до сих пор не было опубликовано.
Аналогичное рассмотрение для энтропии было выполнено Штерном в 1916 г.
[127].
Недавно Домб с сотр. [366] использовали приближенный метод Паде [367] для
расчета теплоемкости кристалла по моментам спектра. В этом методе
удельная теплоемкость или иногда ее квадрат (который при высоких и низких
температурах может быть разложен в ряд по четным степеням температуры)
выражается через температуру как отношение двух полиномов. Степени этих
полиномов и входящие в них коэффициенты подобраны таким образом, что
результирующее выражение точно воспроизводит все известные члены
разложения теплоемкости для высоких и низких температур. Основные члены
низкотемпературного разложения могут быть получены, например, с помощью
метода Хаустона, который будет обсуждаться в § 2 настоящей главы.
Выражение для удельной теплоемкости при высоких температурах получается
из соотношений (4.1.5) и
(4.1.6). Рассмотренный метод, по-видимому, позволит получить весьма
точные результаты для удельной теплоемкости во всем диапазоне температур.
Однако хотя ценность этого метода для расчета теплоемкости совершенного
кристалла может значительно снизиться в результате использования
вычислительной машины для расчета спектра собственных частот, в настоящее
время он является единственным доступным методом для вычисления удельной
теплоемкости неупорядоченных трехмерных кристаллов. Вероятно, в этой
области он найдет наибольшее применение.
Выражение для энергии нулевых колебаний было впервые получено Домбом и
