Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
а и 16,6. Логарифмическая особенность при меньшей частоте является
следствием аналитической седловой точки, вторая особенность обусловлена
несингулярной седловой точкой. В отмеченной на графике точке А имеет
место разрыв непрерывности производной, вызванный неаналитической
критической точкой. Числа критических точек удовлетворяют обобщенным
условиям Морса, полученным Филлипсом [85].
Пока нет аналитических исследований трехмерных моделей, за исключением
довольно искусственного рассмотрения, приведенного в диссертации Девиса.
Таким образом, мы видим, что наличие межионных сил дальнодействия
приводит к различным дополнительным особенностям функции распределения
собственных частот. Однако для теоретических исследований влияния
дальнодействия на колебательные свойства кристаллов имеется еще широкое
поле деятельности.
Фиг. 16. Функция распределения собственных частот для модели Смоллета
двумерной ионной решетки
в-верхняя ветвь собственных частот; б-нижняя ветвь собственных
частот.
156
Глава III
Интересное правило сумм для квадратов частот нормальных колебаний ионных
кристаллов было получено Блекманом [153] и недавно независимо вновь
выведено Браутом [154]. Из рассмотрения, приведенного в конце гл. II, §
2, известно, что
Если потенциальную энергию (сферически симметричную) пары ионов юс',
находящихся на расстоянии г друг от друга, записать в виде
где потенциал ер**}, (г) описывает взаимодействие только между ближайшими
соседями, то из (2.1.20) мы получим
где штрих при второй сумме означает отсутствие в ней члена с 1=0. Так как
действие сил отталкивания ограничено парой ближайших соседей, а
расстояние /•*" связывает по крайней мере соседей второго порядка, то
вторая сумма в (3.6.19) обращается в нуль в случае близкодействия. По
этой же причине в сумме (3.6.16) отличный от нуля вклад сил отталкивания
дает только член с 1=0. Если подставить (3.6.17) - (3.6.19) в (3.6.16),
то мы увидим, что в силу теоремы Лапласа
4W (Г) = + Ч(r) М. (3.6.17)
(3.6.18)
и
х'фх, (3.6.19)
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 157
вклад кулоновского взаимодействия обращается тождественно в нуль для
любых значений к. В результате получим
2 ¦*5 ю=ж; 2 <' (++)+тс S (--)=
0.1 ^ 1г*+. 0,1 (r)*в М+_
(3.6.20)
? "5 (к) - '[-Щ-+ ¦&;) *vy"i (/¦"). (3.6.21)
где г - число ближайших соседей данного иона, а го-расстояние между парой
ближайших ионов.
Полная энергия решетки кристалла типа NaCl, содержащего 2N ионов, равна
UssN[-17Г+ Z(p+- (го)] • (3.6.22)
где а-постоянная Маделунга. Сжимаемость К определяется по формуле
1 |/ d*U . I / Г dU d2rо | d*U / dro \2"| /о оо\
Т ^ v[irivt+-^w)\' <3-6-23)
где V - объем кристалла, равный 2Nr% в рассматриваемом случае.
Равновесное расстояние между ближайшими ионами определяется из условия
dU(r)
dr
r r=0 = N [^- + ^(r0)] , (3.6.24)
так что формула (3.6.23) принимает вид
ew+i?i:w]=i5TvV(r) w- (3.6.25)
158
Глава 111
Сравнивая (3.6.21) с (3.6.25), мы окончательно получаем
^(жг + жг)-^-- (3.6.26)
Это и есть правило сумм Блекмана.
Область применения этой формулы ограничена моделями точечной ионной
решетки с центральным взаимодействием отталкивания между ближайшими
соседями. Ее применение оказывается очень полезным при проверке численных
расчетов спектров собственных частот двухатомных ионных кристаллов.
Аналогичные правила сумм можно получить и для более общих моделей, если
предположить, что все некулоновские силы действуют только между
ближайшими ионами. Именно это свойство модели Блекмана приводит к
независимости от к правой части равенства (3.6.26). Однако для более
сложных моделей связь правой части (3.6.26) с макроскопическими упругими
свойствами кристалла труднее поддается интерпретации.
Соотношение (3.6.26) было проверено экспериментально Клейнманом и
Спитцером [155] для кристалла GaP. Для суммы, стоящей в левой части
равенства
(3.6.26), при к=0 они получили значение 1,52* 1028 сект2, а для точки,
лежащей около границы зоны Бриллюэна- величину 1,63 • 1028 сект2. Хотя
разница лежит в пределах экспериментальных ошибок, авторы отметили, что
кристалл GaP в основном является валентным и поэтому предположения,
лежащие в основе соотношения (3.6.26), выполняются для него недостаточно
хорошо.
ГЛАВА IV
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СПЕКТРА
СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
§ 1. Ряд Тирринга и его аналитическое продолжение
В этом параграфе мы рассмотрим несколько методов, которые применялись для
вычисления термодинамических функций кристалла без предварительного
расчета спектра собственных частот.
Хотя функция распределения частот содержит всю необходимую информацию о
колебательных свойствах решетки, вычислить ее не всегда просто. Однако
при расчете термодинамических величин можно обойтись и без знания спектра
собственных частот. Еще в 1913 г. Тирринг [125] получил выражение для
удельной теплоемкости при высокой температуре в виде ряда по моментам
спектра и затем применил его для двумерной и трехмерной кубических
