Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
замены i на п - /, как это видно из ра-
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 109
меньше числа Бетти Ri рассматриваемого многообразия". Число Бетти Ri
может быть определено как максимальное число замкнутых i-мерных
поверхностей в рассматриваемом многообразии, которые не могут быть
преобразованы друг в друга или в точку с помощью непрерывной деформации.
Как мы уже отмечали выше, предположение о наличии циклических граничных
условий для смещений атомов в /-мерном кристалле позволяет рассматривать
в качестве области определения функции со (к) /-мерный тор. Каждая из
ветвей со.,(к) этой функции, получаемая по правилу, принятому в
предыдущем параграфе, удовлетворяет условиям теоремы Морса, если все ее
критические точки являются аналитическими. Числа Бетти для двумерного
тора имеют следующие значения:
= Ri - 2, R2= 1, (3.4.1)
а для трехмерного тора
/?0=1, #1 = 3, я2 = 3, #3 = 1. (3.4.2)
Отсюда можно заключить, что в двумерном случае ветвь функции w(k),
удовлетворяющая условиям теоремы Морса, имеет по крайней мере один
максимум, две седловые точки и один минимум. Для трехмерного кристалла
каждая из ветвей имеет по крайней мере один максимум, по три седловые
точки каждого типа и один минимум.
Поскольку доказательство теоремы Морса даже для случая ветвей с
аналитическими критическими точками выходит за рамки нашего изложения, мы
приведем эвристический вывод этих результатов, данный Монтрол-лом для
двумерной решетки ').
На фиг. 6. изображено несколько элементарных ячеек в пространстве (01,
02). Поскольку предполагается;
венств (3.4.1) и (3.4.2)', утверждение, высказанное в теореме, от этого
не меняется. Изменение в определении индекса критической точки сделано в
согласии с работой Филлипса для того, чтобы при изложении его обобщения
теоремы Морса на неаиалитические критические точки можно было
использовать то же самое определение.
') Аналогичное эвристическое рассмотрение теоремы Морса имеется также у
Розенштока [89].
110
Глава III
что функция to2 (01, 0г) непрерывна, то в каждой ячейке она должна иметь
по крайней мере один максимум и один минимум. Пусть положение одного из
максимумов
р •
'Ч
Xе • X •
* в,*
Фиг. 6. Кривые, соединяющие максимумы и минимумы периодической функции,
определенной в двумерной области.
в каждой ячейке отмечается значком X, а положение системы эквивалентных
минимумов - черными кружками (точки D, Е ит. д.).
Если максимумы А и В соединить кривой (кривая 7 на фиг. 6), то на ней
будет иметься по крайней мере одна точка, в которой функция со2 (01, 0г)
принимает меньшее значение, чем в соседних точках этой же кривой.
Аналогичные точки имеются на любой кривой (например, на кривых 2, 3),
соединяющей точки А и В. Геометрическое место всех таких точек образует
непрерывную кривую, проходящую через точки Е и D. Выберем из этого
геометрического места точек одну, в которой функция to2 (01, 0г)
принимает наибольшее значение. Пусть это будет точка, обозначенная на
фиг. 6 треугольником. Эта точка должна быть седловой. Действительно, если
двигаться вдоль кривой 4 от Е к D, то она будет соответствовать
относительному макси-
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 111
муму, а если двигаться от А кВ - относительному минимуму.
Аналогичное рассуждение применимо к кривым, соединяющим точки А и С.
Таким образом, функция (о2(01, 0г) имеет по крайней мере две седловые
точки. За
Ф и г. 7. Замкнутые кривые, проходящие через максимумы и минимумы
функции, определенной на торе.
доказательством легко проследить, если ячейку представить в виде тора.
Как показано на фиг. 7, а, кривые, которые, выходя из точки X, образуют
виток, соответствуют кривым, соединяющим точки А и С на фиг. 6. Кривые,
огибающие отверстие тора (фиг. 7,6), соответствуют кривым, соединяющим
точки А и В. Ясно, что как бы мы ни деформировали или ни смещали кривую,
огибающую отверстие тора, ее нельзя непрерывным образом превратить в
виток.
Существование двух седловых точек в пространстве обратной решетки (01,
0г) не обязательно вызывает две логарифмические особенности функции С?
(со2), так как значения функции ю2(0ь 0г) в этих точках могут совпадать.
Аналогичное эвристическое рассмотрение может быть также проведено для
случая трехмерной решетки и приводит к результатам, установленным с
помощью теоремы Морса.
Вскоре после появления статьи Ван-Хова Розеншток [89] опубликовал
исследование критических точек функции (c) (к) для простых кубических
решеток с взаимодействием между ближайшими и следующими за ближайшими
атомами. В этой работе он предложил остроумный
112
Глава III
метод нахождения большей части критических точек, не требующий решения
системы уравнений daPj (k)/dka = О (а = х, у, z). Этот метод основан на
том, что, как показал Розеншток, критические точки в основном лежат на
вершинах, ребрах и гранях куба О <0i, 02, 0з < я в 0-пространстве.
Критические точки, лежащие на вершинах, легко находятся и
