Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
функции О±((о2), равный по величине
± 4 п2 J a±J^af-t-?Cos<p
Проведенное рассмотрение без труда распространяется на случаи обобщенных
критических точек типа (3.3.11) и (3.3.12) и таким образом подтверждает
высказанные выше утверждения.
Исследование Ван-Хова было продолжено и обобщено Филлипсом [85]. Он
подразделил обобщенные критические точки на две группы: несингулярные
критические точки ') и сингулярные критические точки. Первые обусловлены
соприкасанием ветвей функции to (к) в точках симметрии и характеризуются
разложением типа
(3.3.12). Например, минимум (3.3.10) представляет собой несингулярную
критическую точку. Аналитические и несингулярные критические точки вместе
образуют класс так называемых обыкновенных критических точек.
Сингулярные критические точки определяются как точки, в которых по
крайней мере одна составляющая gradkw](k) терпит разрыв с изменением
знака, а остальные составляющие градиента обращаются в нуль. Сингулярные
критические точки характеризуются разложением типа (3.3.11). Они
возникают при пересечении двух ветвей функции to (к). В окрестности таких
точек принимается следующее правило сопоставления ветвям собственных
частот: для каждой точки k (к)<to] (к),
если i < у. Это условие и приводит к появлению сингулярных критических
точек. Ван-Хов показал, что в двумерном случае единственными сингулярными
критическими точками являются обобщенные максимумы и минимумы. Для
трехмерной решетки сингулярные кри-
') Авторы называют эти точки "fluted points", т. е. "складчатые точки".
Это название свтано с тем, что в окрестности такой точки функция со (к)
изображается волнистой поверхностью. - Прим. ред.
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 107
тические точки могут возникать за счет случайного вырождения или в силу
требований симметрии кристалла.
Филлипс исследовал особенности функции 6(to2),вызванные как
обыкновенными, так и сингулярными критическими точками. В согласии с
результатами Ван-Хова он обнаружил, что обыкновенные критические точки
приводят к таким же особенностям, как и соответствующие аналитические
точки. Что касается сингулярных точек, то максимумы и минимумы, для
которых только одна составляющая градиента терпит разрыв, нарушают
непрерывность производных функции G(to2) более высокого порядка. В табл.
1 приведены получен-
Таблица I
Особенности функции О (в"2), обусловленные различными критическими
точками [85]
Тип критической точки Число составляющих VftO)1, имеющих разрыв до
(е"=и2-и2)
Максимумы и минимумы
Обыкновенные 0 е'/"
Сингулярные (за счет симмет-
рии) 1 е
Сингулярные (пересечение
ветвей по кривой) 2 г>,г
Сингулярные (изолированный
контакт) 3 е*
Седловые точки
Обыкновенные 0 е'/'
Сингулярные, Vft<oJ ф 0 вдоль
осей гиперболоидов .... 1, 2, 3 0
Сингулярные I (JL осям гипербо- ъ!г In е
лоидов)
Сингулярные 2(j_ осям гипербо- е'/"
лоидов)
ные Филлипсом результаты, связывающие тип критической точки с
обусловленной ею особенностью функции С? (со2). Эти данные могут быть
также получены с по-
108
Глава III
мощью метода преобразования Фурье, описанного в настоящем параграфе.
В заключение отметим, что методы и результаты этого параграфа применимы
также к исследованию распределения электронных энергетических состояний в
периодическом потенциале.
§ 4. Топологическое обоснование особенностей функции распределения частот
Существование особенностей функции распределения собственных частот для
некоторых моделей кристаллов было доказано в работах Борна и Кармана и
Монтрол-ла. Смоллет показал, что по крайней мере для двумерных решеток
определенные виды критических точек функции to2(к) приводят к
особенностям в спектре собственных частот. Однако окончательно не было
ясно, присуще ли наличие этих критических точек только рассмотренным
частным моделям или носит общий характер. Ответ на этот вопрос был дан
Ван-Ховом [71]. С помощью общей теоремы Морса [87] он показал, что
существование критических точек в семействе поверхностей постоянной
частоты в k-пространстве, а следовательно, и существование особенностей
функции распределения частот является необходимым следствием
периодичности решетки. Мы кратко изложили эвристическое исследование
Монтролла [88] и затем приведем некоторые разъясняющие результаты,
полученные Ван-Ховом [71]. Розенштоком [89] и Филлипсом [85].
Мы начнем с формулировки теоремы Морса, примененной Ван-Ховом к
аналитическим критическим точкам: "Пусть функция f определена на
замкнутом топологическом многообразии, удовлетворяющем надлежащим
условиям дифференцируемости и регулярности; предположим, что функция f
трижды непрерывно дифференцируема и не имеет вырожденных критических
точек1). Тогда число критических точек индекса i не
') В формулировке Ваи-Хова теоремы Морса индекс критической точки
определяется как число положительных собственных значений. Поскольку,
одиако, числа Бетти /?" для данного многообразия симметричны относительно
