Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
особенности вида lg21 ю2 - 1/&>\ | • Однако такие случаи должны
рассматриваться как исключительные.
Ван-Хов обратил внимание на два существенных обстоятельства, которые
следует учитывать при определении полного числа особых точек функции
G(to2).
Во-первых, особенности функции G(to2), обусловленные различными ветвями
спектра, могут взаимно компенсироваться. Например, из (3.3.96) видно, что
в двумерном случае особенность, соответствующая минимуму в одной ветви,
может быть скомпенсирована особенностью, соответствующей максимуму в
другой ветви, и наоборот. Логарифмическая особенность, связанная с
седловой точкой, не может быть скомпенсирована особенностями в других
ветвях. В трехмерном случае, согласно (З.З.Эв), возможна компенсация
особенностей, обусловленных минимумом и седловой точкой 5г, а также
максимумом и седловой точкой Si в разных ветвях.
Во-вторых, аналитические критические точки не исчерпывают множества всех
критических точек, которые приводят к особенностям функции G(to2).
Поскольку функция ш2 (к) является решением векового уравнения, ее явное
выражение может содержать квадратные и кубические корни. Будем называть
точку (М°\ М0', &з') обыкновенной критической точкой, если в разложении
функции v>)(k 1, &>, кз) в окрестности точки (М0), *Р, ЛР) отсутствуют
линейные члены. При этом функция (c)у (к)
может и не обладать разложением в ряд Тейлора типа
(3.3.4). Однако такие точки также приводят к особенностям функции G(co2).
Например, для двумерной квадратной решетки разложение около начала
координат в k-пространстве каждой из двух ветвей функции a2(kit hi) имеет
вид
= a {k\ + kl) ± (b2k\ + c2k\k2+b2kt)\ (3.3.10a)
104
Глава III
где а, b, с - положительные постоянные, зависящие от атомных силовых
постоянных и удовлетворяющие нера-венствам
а > Ь, 4а? > 2Ь2 -f- с2.
В полярных координатах (г, 0) дисперсионная формула (3.3.10а) принимает
вид
,,2
^ = г2 |а ± ^ (з^2 + jc2+[b2 - jc2'j cos40jЛ L (3.3.
Об)
Критическую точку такого типа Ван-Хов называет обобщенным минимумом и
вводит понятие обобщенной критической точки. Для однозначной функции
/(к), т. е. для одной ветви со (к), обобщенной критической точкой кс
индекса /, называется точка, в окрестности которой функция f(k) не имеет
разложения в ряд Тейлора вида
(3.3.4), но поверхность f(k)=f0 с постоянной f0, близкой к значению
f(kc), топологически эквивалентна поверхности, описываемой уравнением
(3.3.5) для аналитической критической точки индекса /. Обобщенными
критическими точками могут быть точки соприкосновения двух различных
ветвей функции со (к), т. е. изолированные точки в двумерном случае и
изолированные точки или кривые в трехмерном случае.
Ван-Хов показал, что разложение функции ю2(к) в окрестности обобщенной
критической точки имеет вид
<o2(k)=<o2 + |k -kJiHk/|k|) + 0(|k-kc|2). (3.3.11)
Если направления в k-пространстве, вдоль которых функция ф(к/|к|)
обращается в нуль, в случае двумерной решетки образуют дискретное
множество, а в случае трехмерной решетки - множество, зависящее от одного
параметра, то обобщенные критические точки обусловливают более слабые
особенности функции G(to2) (например, разрывы в производных более
высокого порядка), чем соответствующие аналитические критические точки
того же индекса. Однако если функция ф обращается в нуль тождественно, то
в разложе-
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 105
нии (3.3.11) надо учесть следующие члены: ю2(к) = ^+|к-кс|2х(к/|к|) +
0(|к-кс|3). (3.3.12)
Можно показать, что обобщенные критические точки приводят в этом случае к
таким же особенностям функции G((o2), как и соответствующие аналитические
критические точки. В обоих случаях возможна взаимная компенсация
особенностей различных соприкасающихся ветвей. Обобщенный минимум в
спектре (3.3.10) дает такой же скачок функции G(to2), как и
соответствующий аналитический минимум. Этот результат легко получить с
помощью метода, описанного в настоящем параграфе. Согласно (3.3.3), в
этом случае асимптотика функции рн(у) имеет вид
00 2я
f rdr f dQexPX
о о
X (iyr2 [а ± y rf + gcos 40] - ti|у | г2). (3.3.13)
Введенный под знак интеграла обеспечивающий сходимость множитель
соответствует определенному способу регуляризации. Если сначала
проинтегрировать по г и затем перейти к пределу ^->+0, используя
известный результат
Л(tm) ^bn='>(*)+*'6W'
то получим
w-i&i(згш)
так как при интегрировании по <р A-функция не вносит никакого вклада,
поскольку по предположению величина а ± Vrf + gcos ф всегда отлична от
нуля. Интеграл в (3.3.14) может быть либо выражен через полный
эллиптический интеграл третьего рода1), либо просто найден численно. Для
нас величина этой постоянной
•) J. A. Davies, не опубликовано.
106
Глава III
несущественна. Больший интерес представляет зависимость от у,
определяющая тип особенности функции G(to2). Сравнивая (3.3.14) с (3.3.8)
и (3.3.96), мы находим, что обобщенный минимум (3.3.10) вызывает скачок
