Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марадудин А. -> "Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении" -> 28

Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.

Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении — М.: Мир, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakrisreshetki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 114 >> Следующая

СО
°* С(r)2)= Ж / ехР [- 1У ((r)2-"2)1 Рл (у) dtJ' (3-3-2)
- оо
где
Ря(У) = ^ S e'yhWd3k- (3-3-3)
Поскольку свойства функции (?(<о2) при со2->м2 определяются поведением
ря(у) для больших \у\, мы изучим асимптотические свойства ря(у), налагая
определенные ограничения на функцию h(kit k2, А3). Введем определение
аналитической критической точки. Будем называть
ее поведение в этой области должно определяться функцией f{y) при больших
значениях |(/|. Точнее, если }(у) можно представить в виде
f (У) = exp (iyxc) g (у), (д)
то особенности функции
ОО
F(x)=G( х-хс) = -^ J exp [- ly (х - *с)] g (у) dy (е)
- ОО
при х->хв определяются поведением функции g(y) при | (/1 -> оо.
7*
100
Глава III
точку ^-пространства аналитической критической точкой, если для нее
выполняются следующие три условия:
1. gradk w2 (^j, k2, k3) |0> 0i о = 0.
2. Существует окрестность R вблизи начала координат, где функция h(ki,
кг, k3) может быть разложена в ряд Тейлора.
3. Функциональный определитель \d2(a2/dkidkj\ отличен от нуля в
области R.
В силу условий 1 и 2 функция h{ki, k3) может быть записана в виде
h(kv k2, k3) - 2 v (ku k2, kz), (3.3.4)
где v(klt kz, k3) = 0( ) для любых i, /. Третье условие
позволяет нам перейти с помощью линейного преобразования к новым
координатам (q>j, q>2, фз), таким, что
2 alJklktj = е,-(2 + е2ч$ + е3ф2, (3.3.5)
где е"= ± 1 для /=1, 2, 3. Число отрицательных величин е в этой форме
называют индексом критической точки1). Асимптотика ря(у) определяется
поведением функции Л в окрестности начала координат. Более строгое
рассмотрение показывает, что в разложении функции h достаточно оставить
лишь квадратичные члены, а область интегрирования можно распространить на
все пространство, допуская при этом пренебрежимо малую ошибку.
Таким образом, для больших значений |(/| находим
СО
Рл(0)~4г/ / /ехР iiy (е1ф1 + е2ф2 + е3ф|)] Ар, Apa dy3,
(3.3.6)
где А - якобиан преобразования от переменных {kj} к переменным {ф3}. Мы
видим, что p"(t/) асимптотически представляется в виде произведения трех
полных инте-
') В этом определении мы следуем Филлипсу [85]. Ваи-Хов определяет индекс
аналитической критической точки как число положительных значений е в
квадратичной форме (3.3.5).
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 101
гралов Френеля. Для каждого из этих интегралов мы имеем
СО
Jехр (iyuр2)d(f = Я1/" \у\~',г ехрSgnу). (3.3.7)
- СО
Поэтому для рд("/) находим
Р/г (У)~^ ^ехр [/ (3 - 27) i sgn у], (3.3.8)
где / - индекс критической точки, sgn"/= + l для у>0 и sgn у= - 1 для
у<0.
Аналогичная формула справедлива и для решеток меньшей размерности с той
лишь разницей, что цифра 3 всюду должна быть заменена на размерность
решетки I. Множитель va при этом следует интерпретировать как площадь или
длину элементарной ячейки кристалла. Теперь применяя теоремы Таубера к
преобразованию Фурье, мы по виду асимптотики (3.3.8) можем определить
поведение функции GR{a2) при(c)2-чо2. Используя результаты, приведенные в
книге Лайтхилла [86J, мы получаем следующие характеристики функции С?и
(со2) в окрестности особых точек:
1. Одномерная решетка
/ = 0 (минимум),
б* (ю2) ~ | to2 - ю21" v* [ 1 + sgn (to2 - (ф],
/ = 1 (максимум), (3.3.9а)
б* (со2) ~ 4г | со2 - <о2 Г* [1 - Sgn ~ (r)2)1*
2. Двумерная решетка
/ = 0 (минимум),
Or (*>2) ~ sgn ((r)2 - ю2),
/ = 1 (седловая точка),
<М(r)2)-4?1пК-"21' (3-3-9б>
1 - 2 (максимум),
Or (w2) ~ - -2^2. sgn (to2 - to2).
102
Глава III
3. Трехмерная решетка
1 = 0 (минимум),
<Зй(а)2)~л4^|ю2 - ю* |'А [1 + sgn (ю2 - (c)2)],
1 = 1 (седловая точка 5,),
Or (со2)- я 4?г-1- (о2 |* [-1 + sgn (to2 - to2)],
1 = 2 (седловая точка S2), (3.3.9b)
0R (Ф2)----я4г"1"2 - |'/j [1 + sgn (to2 - (О2)],
1 = 3 (максимум)
Or ((О2) ~ Я -4jr-1- (О2 |'А [1 - Sgn ((О2 - (О2)].
Полная функция С? (со2) будет суммой Оя((о2) и аналитической части. Из
(З.З.Эв) мы видим, что в трехмерном случае изолированная аналитическая
критическая точка приводит к разрыву лишь производной G(a>2), а не самой
функции. Более сильные особенности С? (со2) могут быть вызваны
критическими точками, для которых \d2(x>2/dQidQ}\ =0, как, например, для
случая, когда критические точки образуют непрерывное множество.
Рассмотрим в качестве примера критические точки объемно-центрированной
кубической решетки, для которой дисперсионная формула имеет вид
(О2 = -i-(c)|(1 - cos 0, cos 02 cos 03),
где о0 - постоянная решетки. Уравнения, оп-
ределяющие критические точки, имеют вид
cos 0j cos 02 sin 03 = 0,
cos 01 sin 02cos 03 = О,
sin 0, cos 02cos 03 = 0.
Решая эту систему, мы находим, что точки (0, 0, 0), (я, я, я) и (я/2,
я/2, я/2) являются критическими, причем первые две из них аналитические,
последняя - неаналитическая. Неаналитическая критическая точка (я/2,
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 103
я/2, я/2) является точкой пересечения трех взаимно перпендикулярных
плоскостей постоянной частоты
01 = я/2, 02=л/2, 03=л/2 и обусловливает появление у функции G(co2)
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed