Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
основании результатов, полученных для двумерного случая, Смоллет ошибочно
заключил, что логарифмические особенности имеются и в спектрах трехмерных
решеток. Последующие работы [78-81] по расчету функций распределения
частот для различных моделей кристаллов (бблыиая часть которых была по
необходимости весьма искусственной) выявили следующие особенности функции
G(a2), Для
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 97
двумерных кристаллов-бесконечные логарифмические пики и разрывы первого
рода, для трехмерных кристаллов- разрывы второго рода в производной.
Вскоре после этого Ван-Хов дал изящное объяснение причины появления этих
особенностей, показав, что наличие критических точек всегда обусловлено
периодичностью решетки. Продолжив исследование Смоллета, он выяснил, что
тип возникающей особенности можно определить, изучая свойства функции <о2
в окрестности соответствующей критической точки.
Особенности функции распределения частот редко проявляются в физических
явлениях явным образом. Большинство термодинамических величин могут быть
представлены в виде интеграла по спектру собственных частот, как в
(3.1.76), и поэтому как функции от температуры не имеют особенностей.
Раман и его школа возражали против динамической теории кристаллической
решетки на том основании, что по данным оптических измерений спектр
обычно состоит из серии резких линий. Более тщательные измерения
показали, что эти линии наложены на непрерывный фон. Сами же резкие линии
в спектре не обязательно соответствуют особенностям функции распределения
частот, они могут быть обусловлены также конечными узкими максимумами1).
Особенности спектра действительно проявляются в выражении для сечения
неупругого некогерентного рассеяния нейтронов кристаллами. Плачек и Ван-
Хов [82] показали, что в гармоническом приближении распределение энергии
при однофононном некогерентном рассеянии пропорционально функции
распределения собственных частот и поэтому особенности последней могут
быть обнаружены непосредственно.
Теперь рассмотрим кратко два основных результата Ван-Хова. Сначала
покажем, как определенные типы особенностей функции распределения частот
связаны с поведением функции <о2 (к) в окрестности соответствующих
критических точек. Здесь мы будем в большей мере
') О проявлении особенностей функции распределения в оптических спектрах
кристаллов см. работу Е, Д. Трифонова, ФТТ, в, 462, 1964. - Прим. ред.
7 Зак, 1491
98
Глава III
следовать работе Марадудина и Перетти[83], чем оригинальному рассмотрению
Ван-Хова. Затем мы дадим эвристическое доказательство того факта, что
существование критических точек обусловлено периодичностью решетки.
Согласно (3.2.5), функция распределения G(<o2) может быть выражена через
преобразование Фурье-функ-ции f(y), которая в свою очередь определяется
через с^(к). Из (3.2.33) мы видим, 4toG(<o2)-ограниченная функция, если
только gradko)^ (к) ф 0. Следовательно, появление особенностей в спектре
собственных частот возможно только в том случае, если gradk<o2(k)
обращается в нуль в одной или в нескольких точках. Мы покажем, что это
будет иметь место, если предположить, что функция со2 обладает некоторыми
определенными аналитическими свойствами. К этому же результату можно
прийти другим путем. На основании соотношения (3.2.5) можно утверждать,
что особенности функции G(<o2) полностью определяются поведением f(y) при
больших значениях |t/|]), которое, как можно по-
') Рассмотрим, например, поведение функции
ОО
F = In f1 е~1УХ dy <а)
- ОО
в окрестности нуля. Разобьем бесконечный интервал интегрирования на три
части
(- оо, оо) = (- оо, - Л)-К- А, А) + (А, оо), (б)
где А - произвольная положительная величина. Поскольку, согласно (3.2.6),
функция {(у) ограничена, экспоненту в интеграле по среднему интервалу
можно разложить в ряд. Тогда мы получим
/r(JC)=='sr[,Xo-tx)l> ~ •••]+
- А оо\
/ + / Je-^fMdy, (в)
-оо А >
где
А
Ця = J Уп{ (У) Лу (г)
-А
н выражение в квадратных скобках является целой функцией. Таким образом,
если функция F(x) неаналнтична в окрестности дг=0,
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 99
казать, используя метод стационарной фазы, определяется интегрированием
по окрестностям точек к-про-странства, для которых gradk<oJ (k) = 0.
В дальнейшем мы будем рассматривать вклад в G((o2) от одной ветви
колебательного спектра и поэтому опустим индекс j у функции <о*(к). Для
получения окончательного результата мы, конечно, должны просуммировать
вклады от всех ветвей.
Предположим, что grad<o2|00 0 = 0 и <о2(0, 0, 0) = <о?. Из соображений
простоты мы перенесли начало координат в критическую точку, хотя
последующее рассмотрение справедливо для критической точки с
произвольными координатами (kiy k%, k3). Тогда для некоторой окрестности
R начала координат мы можем написать
ю2 (к) = <о2 + А (к), (3.3.1)
где Hni|Jk|_M)A = 0. Вклад в функцию 0(ю2), обусловленный интегрированием
по области R, можно представить в виде
