Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марадудин А. -> "Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении" -> 26

Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.

Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении — М.: Мир, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakrisreshetki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 114 >> Следующая

спектре одноатомной решетки. Для трехмерной двухатомной простой
кубической решетки как с центральным, так и с нецентральным
взаимодействием между ближайшими соседями множитель Н(Х) приводит только
к особенностям в производной функции распределения, в то время как
множитель dX/da2 обусловливает наличие особенностей G(o"2) типа обратной
величины квадратного корня.
О ((о2) da? = Н(X) dX,
ow=H(X)jfr.
(3.2.37)
94
Глава III
Тщательное аналитическое исследование функции распределения собственных
частот модели двухатомной решетки было выполнено Мазуром *). Он
исследовал спектр решетки типа NaCl при учете как центрального, так и
нецентрального взаимодействий с ближайшими и следующими за ближайшими
соседями. Мазур обнаружил,
ю
в
э
" в
N
3
-
Запре- ц
I щенной 1
1 Акусти* зона \
/ ческар Оптическая\
J овтоь 1 1 ветвь \ Л . 1
О Q05 QIO Ц90 Ц95 1,0
(w/u>L)*
Фиг. 4. График функции G(ю2) для решетки типа NaCl с центральным и
нецентральным взаимодействиями между ближайшими соседями.
Фиг. 5. График функции G (<о2) для решетки типа NaCl с взаимодействием
между ближайшими и следующими за ними соседними атомами.
что спектр расщепляется на две ветви, оптическую и акустическую. Однако
учет взаимодействия со следующими за ближайшими соседями в некоторых
случаях приводит к перекрыванию этих ветвей. При учете взаимодействия
только с ближайшими соседями в NaCl у функции распределения частот
появляются особенности типа обратной величины квадратного корня в точках,
соответствующих краям зон (фиг. 4). Если же принять во внимание
взаимодействие с атомами, следующими за ближайшими, то бесконечные пики
становятся конеч-
') P. Mazur, ие опубликовано.
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 95
ными, с особенностями только в производной. Это показано на фиг. 5.
Влияние на спектр трехмерной решетки дальних взаимодействий пока остается
невыясненным. Известно, что в одномерном случае учет кулоновского
взаимодействия добавляет к особенности, обусловленной взаимодействием с
ближайшими соседями, только одну новую особенность [74].
Монтролл и Поттс [75] предложили интересный метод решения некоторых задач
для двухатомной решетки. Пользуясь их методом, изложенным также в [73],
можно свести уравнения движения двухатомной решетки к уравнениям движения
одноатомной решетки. Однако массы, входящие в эти уравнения, оказываются
зависящими от частоты. Применение этого метода делает более простым
исследование спектров решеток типа NaCl, первоначально выполненное
Мазуром. Пока не представляется возможным распространить метод Мон-тролла
и Поттса на решетки, отличные от простых кубических.
§ 3. Особенности функции распределения частот
Наиболее характерным свойством рассмотренных выше спектров является
наличие бесконечных разрывов у функции распределения частот или у ее
производной. Особенность типа обратной величины квадратного корня для
одномерного случая была установлена уже в классической работе Борна и
Кармана. Однако аналитическое выражение для функции распределения
собственных частот двумерной решетки было получено Монтроллом [76] лишь
через 35 лет. Монтролл рассмотрел квадратную решетку с центральными
взаимодействиями с ближайшими и следующими за ними соседними атомами. При
определенном выборе отношения силовых постоянных этих взаимодействий
функция распределения частот для каждой из двух ветвей выражается через
полные эллиптические интегралы первого рода и при некоторой критической
частоте имеет логарифмическую особенность. Было показано, что в к-
пространстве этому значению критической частоты соответствует так
называемая седловая точка (M0)i &20)), в
96
Глава III
окрестности которой разложение функции ^2)
имеет вид
ю5(*ь k2)=^j(kf\ kP) ± a) {k\ - kT)2 + b){k2~m +
4-члены более высокого порядка.
Хотя аналитическое выражение для функции распределения частот можно
получить лишь при определенном выборе силовых констант, Монтроллу удалось
показать, что логарифмические особенности появляются в спектре при любых
разумных значениях силовых постоянных и что в общем случае они
соответствуют сед-ловым точкам в к-пространстве.
Спектр частот двумерной квадратной решетки с ку-лоновским взаимодействием
был исследован Смолле-том [77] в 1952 г. Он также обнаружил
логарифмические особенности, характерные для спектров, рассмотренных
Монтроллом. Кроме того, Смоллет показал, что в двумерном случае седловые
точки в к-пространстве всегда приводят к логарифмическим особенностям, в
то время как минимумы, для которых
а>) (ft" k2) = (М0), 4°') + a) (kx - + b) (k2 - 6(20))2+...
и максимумы, для которых
a) (ku Ля) = а) (М0), W) - а) (Л, - kf]f - b) (k2 - ?(20))2+ • • •.
приводят соответственно к положительным и отрицательным разрывам функции
G(o2). Очевидно, что в рассмотренных нами точках (kf\ k^) выполняется
условие grad*ю2(10 = 0-Такие ТОчки называют (аналитическими) критическими
точками семейства кривых постоянной частоты в k-пространстве. На
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed