Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
Функция
<3-2-30>
¦*" / ^
может быть представлена как производящая функция для моментов. Если Re о*
> со2, то можно записать
Q ("*) - 3rN 2j { Ш* + a* + 0>e -f ... J -
к.У
= <3-2-3l>
n=0
где Ц2п - момент порядка 2п функции распределения частот.
Аналитические свойства функции Q(co2) подробно рассматривал Перетти [66],
показавший, что появление
90
Глава III
в функции распределения частот определенных типов особенностей связано с
поведением функции Q(<o2) на комплексной плоскости. Выражение функции
распределения частот в виде (3.2.29) было также использовано Дайсоном
[69] и позднее Инглманом [70] при изучении колебаний неупорядоченных
решеток.
Наконец, еще одно выражение функции G(to2) через Oj(k) может быть
получено с помощью тождества
где S - поверхность, определяемая уравнением (/(к) =0. Введем в k-
пространстве криволинейные координаты. Обозначим через ц координату,
имеющую смысл нормали к поверхности S, так что элемент объема теперь
может быть представлен в виде dSd\L. Тогда, интегрируя по ц и учитывая
тот факт, что производная по ц равна gradk U, мы сразу же с помощью
(3.2.32) получаем
Используя выражение (3.2.33) для G(to2), Ван-Хов установил связь
особенностей этой функции с определенными типами критических точек
дисперсионной кривой (т. е. точек, в которых gradke^(k) = 0). При
обсуждении этого вопроса в следующем параграфе мы, однако, будем
основываться на более поздних работах, в которых используется
преобразование Фурье (3.2.5).
Большинство полученных до сих пор результатов относилось к моноатомным
решеткам. Однако многие встречающиеся в природе кристаллы являются
двухатомными. Поэтому вкратце напомним известные качественные
характеристики двухатомных и более сложных решеток.
Простейшей двухатомной решеткой является одномерная решетка с
элементарной ячейкой, состоящей из атомов А и В. Если силовую постоянную
между соседними атомами обозначить через у, а массы атомов А
/б|У(к)]Л=//11^т. (3.2.32)
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 91
и В соответственно через тп и М, то, как легко показать, дисперсионная
формула имеет вид
°>2±<0) I1 , JW/1 . 1 V 4 sin2 6 Л А я
= W + * (т+-м)-----------------Ш~' °<9<Т-
(3.2.34)
Функцию распределения собственных частот такой решетки проще всего
получить с помощью формулы
Фиг. 2. График функции распределения квадратов собственных частот для
одномерной альтериаитной двухатомной решетки.
(3.2.3). Ее график приведен на фиг. 2. Основное свойство этого спектра,
как видно, состоит в том, что он распадается на две неперекрывающиеся
ветви, акустическую и оптическую, каждая из которых обладает теми же
характерными особенностями, которые присущи спектру одноатомной решетки.
Недавно было проведено более общее рассмотрение одномерных решеток с
взаимодействием только между ближайшими соседями [72]. Было показано, что
если в элементарной ячейке содержится п атомов, то спектр собственных
частот расщепляется на п ветвей. Функция распределения частот каждой
ветви содержит особенности, характерные для одноатомной решетки. Типичный
график функции распределения для решетки с элементарной ячейкой ААВ (при
условии МЛ=2МВ) изображен на фиг. 3.
Появление характерных особенностей в каждой ветви спектра является
результатом определенной законо-
92
Глава III
мерности. Чтобы показать это, рассмотрим, например, дисперсионную формулу
для простой кубической решетки, состоящей из атомов двух сортов,
отличающих*
Фиг. 3. График функции G(o)2) для одномерной решетки типа ААВ с
взаимодействием только между ближайшими соседями.
Лд/.И?а>2. Частота равна максимальной собственной частоте коноатокной
решетки, построенной только из легких атомов.
ся массами и взаимодействующих только с ближайшими соседями [73]
<3-235>
где и выражаются через массы атомов и силовые постоянные, а величина X
определяется равенством
X (3.2.36)
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 93
Переменная X, очевидно, совпадает с величиной
входящей в дисперсионную формулу для одноатомной решетки. Таким образом,
мы видим, что собственные частоты двухатомной решетки, так же как и
одноатомной решетки, зависят от углов 0Ь 02, 03 только через переменную
X. Следовательно, если обозначить через N{} число частот, лежащих в
интервале {}, то мы можем написать
N {о2 < v2 < со2 + J = N {х < X < л:+dx\,
где X определяется из соотношения (о2 = ю2(Л), т. е. из формулы (3.2.35).
Это равенство можно записать также в виде
где Н(Х)-функция распределения собственных частот одноатомной решетки.
Следовательно,
Теперь легко видеть, что если переменная Х(ю2) пробегает интервал,
содержащий особые точки функции Я, то функция G(o2) в соответствующих
точках будет иметь те же особенности, хотя в деталях может иметь место
отличие, обусловленное видом функции Л(ю2). Далее, если производная
dX/da2 сама не вносит никаких особенностей, то распределение G(o2) будет
иметь особенности, обусловленные только функцией Я, т. е. те же, что и в
