Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
Q2(са*) = 0 в остальных случаях,
где К(k) - полный эллиптический интеграл первого
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 85
рода. Функция (?з(а>г) не может быть выражена через известные
табулированные функции. Численные расчеты (?з(а>г) для нескольких
значений параметров были
Фиг. 1. Графики функций распределений собственных частот G(о2) для
одномерной (а), двумерной (б) и трехмерной (в) простых кубических решеток
с центральным взаимодействием только между ближайшими соседями.
выполнены Бауэрсом и Розенштоком [61], Розенштоком и Ньюэлом [64] и
Монтроллом [62]. На фиг. 1 изображены графики функций Gn(a>2) для п= 1,
2, 3. В одномерном случае функция распределения частот имеет особенность
типа обратной величины квадратного корня, в двумерном - особенности
логарифмического типа и
86
Глава III
разрывы первого рода, в трехмерном случае - особенности типа квадратного
корня. Ниже будет показано, что особенности функции распределения частот
обусловлены периодичностью решетки и зависят как от размерности решетки,
так и от ее геометрической структуры.
Для нахождения функции распределения собственных частот можно
воспользоваться также преобразованием Лапласа. Представление б-функции в
виде
Ни один из этих двух методов не применялся для точного вычисления функции
распределения собственных частот трехмерного кристалла. Метод, основанный
на преобразовании Лапласа, был использован Нитцови-чем [65] для
нахождения электронного энергетического спектра в приближении сильной
связи для объемноцен-трированной и простой кубических решеток. Для объем-
ноцентрированной кубической решетки он получил
где /п (а) - функция Бесселя порядка п, А - нормировочный множитель. В
статье Нитцовича приведено несколько графиков функций распределения
электронных состояний, однако на них не видны особенности. В работе Мотта
и Джонса [44], также получен график функции распределения для
объемноцентрированной кубической решетки. На нем отчетливо видна
особенность, ко-
c+ioo
(3.2.17)
приводит к выражению
С+/0О
= j exp (ya?)f(y)dy, (3.2.18а)
где
(3-2-186)
J
оо
00
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 87
торая, как можно показать, описывается выражением G (<о2) ~1п2|ю2 - о21 -
В тех случаях, когда удается найти функцию f(y), она может быть
использована для образования моментов функции распределения собственных
частот и для установления поведения функции g(&) при малых ю. Например, в
случае трехмерной простой кубической решетки с взаимодействием только
между ближайшими соседями функция f(y), определяемая формулой (3.2.186),
имеет вид
f (у) = ехр [- 2у (Pi + P2 + Рз>1 Л> (2Pi У) /0 (2Ш /0 (2Р3У)>
(3.2.19)
где /" (я)-функция Бесселя чисто мнимого аргумента. Известно, что функция
распределения g(a>) для значений ю, лежащих ниже ее первой особой точки,
может быть представлена в виде ряда
g (со) ~ ajiP+а4со4 .... (3.2.20)
Для определения коэффициентов С2, ait ... мы воспользуемся теоремой
Таубера для преобразования Лапласа [67].
Пусть функция R(t) определена в любом конечном интервале 0 < t < Т и
абсолютно интегрируема вплоть до точки t-О. Тогда если асимптотическое
разложение ее преобразования Лапласа р (у) при у-*~оо имеет вид
00
P(y)~'2ibay-\ 1*1 < Иг< •••. (3.2.21а)
Я=1
ТО
t ОО ц
//?(x)dx~2T^^j, *~0, (3.2.216)
О я-1
при условии, что функция
(3-2-21в>
/tel
монотонна в некоторой окрестности точки
88
Глава III
В настоящем рассмотрении последнее условие выполняется по предположению,
и мы можем сразу же воспользоваться этой теоремой. Асимптотика функции
е~х10(х) при больших х имеет вид [68]
С помощью (3.2.21) и (3.2.22) в пределе о-"-0 получаем
Поскольку известно, что функция g(a>) разложима в ряд Тейлора в
окрестности начала координат, можно утверждать, что
Ниже будет показано, что иногда даже неполное знание преобразований
Лапласа или Фурье функции распределения частот может дать подробные
сведения о ее возможных особенностях.
Другое представление б-функции, которое приводит к полезному выражению
для распределения б(ю2), имеет вид
Если при подстановке (3.2.25) в (3.2.2) переход к пределу выполнить после
интегрирования, то получим
(3.2.24)
х - it
-i- lim Im In (х - is).
е-*о+
(3.2.25)
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 89
Последний интеграл удобно записать через вековой определитель, который в
свою очередь можно представить в виде произведения
D (со*) = JI(cd2-со] (к)), (3.2.27)
J
так что
1пО("аг) = 2 ln^ - о>5 (к)) = ^ -ю5(к))аРк.
KJ j
(3.2.28)
Из (3.2.26) и (3.2.28) находим
0№Im-Ш1п~/е)- (3.2.29)
Таким образом, если можно найти представление векового определителя в
нижней полуплоскости комплексного переменного со2, то функция
распределения частот определяется в результате предельного перехода в
производной. Легко видеть, что функция D(z) аналитична всюду на
комплексной плоскости г, за исключением отрезка вещественной оси, на
котором !Rez|<со?, где coL - максимальная частота спектра.
