Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
1. Какова связь между функцией саДк) и распределениями Gj(со2) или
gj(й)?
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 81
2. Можно ли по функции <Dj(k) получить качественную информацию о
функции распределения собственных частот в тех случаях, когда трудно
найти ее явное аналитическое выражение?
В следующих параграфах мы изложим работу, которая была выполнена для
ответа на эти вопросы. Проблемы, аналогичные тем, которые будут здесь
рассмотрены, встречаются во многих других разделах физики твердого тела.
Упомянем приближение сильной связи для металлов; для этого случая было
показано, что решение уравнения Шредингера может быть сведено к решению
системы разностных уравнений, совпадающих с уравнениями, встречающимися в
динамике решетки [47]. Фактически выражение для электронной энергии в
зоне как функции волнового вектора к представляет собой дисперсионную
формулу, если мы отождествим энергию с величиной ю2. К аналогичным
уравнениям приводит также элементарная теория спиновых волн [60].
Прежде всего заметим, что все соотношения между функциями Gj(e>2) и
<Oj(k), которые до сих пор рассматривались, могут быть выведены из
некоторого одного. Это основное соотношение получается следующим образом.
Число нормальных координат, квадраты частот которых меньше или равны ю2,
может быть формально записано в виде
(c)*
N (и2) = /2 ft (jc - (Oj (k)) dx. (3.2.1)
Ok,]
Действительно, интегрирование суммы б-функций добавляет к правой части
равенства по единице всякий раз, когда переменная интегрирования проходит
через одно из допустимых значений ю2(к). По определению функции
распределения G(<o2) и N(&2) связаны следующим соотношением:
О (a?) da? = [N (о2+ d"?)-N (и2)],
так что окончательно мы имеем
(3-2.2)
к,/
б Зак. 1491
82
Глава III
Этот результат впервые был получен Бауэрсом и Розен-штоком [61].
Подставляя в формулу (3.2.2) различные представления 6-функции, мы
получим все обычно используемые соотношения между G(<o2) и <Oj(k).
Применение формулы (3.2.2) наиболее тривиально в одномерном случае.
Действительно, используя (2.4.4), мы получаем
о("г)=^г2б((r)*-(r)г(А)),
к
2я
О (е>2) = gL. Jfi(ca2_ (B?(0))rf0, 0 = -^-, (3.2.3)
°((°2)=2л S | dtf/dd |е_в< 2JT| |*
где 0j - корни уравнения ю2=юг(0). В окончательной формуле величины 0<
следует заменить их выражениями через о2, полученными из соотношения 0 =
0(ю2). Некоторые приложения этой формулы будут рассматриваться в гл. III,
§ 6, где дано исследование колебательных свойств решеток с межатомными
силами взаимодействия большого радиуса.
Одно из первых выражений функции 0(ю2), которое было использовано для
исследования спектра частот
простой кубической решетки [62], основано на следующем представлении 6-
функции:
00
6 (*)=-?¦ fe~l**dy. (3.2.4)
- 00
Меняя порядок интегрирования в (3.2.2), мы находим для трехмерного случая
00
OH=-L J txp(-iy^f(y)dyt (3.2.5)
-00
где
/ехР (Э-2-6)
1
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 83
В качестве примера применения этих формул рассмотрим случай моноатомной
простой кубической решетки из Li=N атомов, взаимодействующих только с
ближайшими соседями. В трехмерном случае уравнение движения для х-
составляющей смещения атома в узле (mi, m2, m3) имеет вид
~f* У2&тг Uni,m2ni, -f-
(3.2.7)
где, например,
^т1Чт1тгтг ==1 И/В|+1, m,m, - 2Uni,ni2njJ -f- m,mv (3.2.8)
Составляющие смещения по осям у и г удовлетворяют аналогичным уравнениям.
Следуя общим указаниям, сделанным в гл. II, § 1, мы решаем уравнение
(3.2.7) с помощью подстановки вида
ит,т,т, = А ехр / (mfii+т$2+- at),
которая приводит к следующей дисперсионной формуле для каждой из трех
ветвей спектра:
Мю2 = 2yi (1 - cos 0t) 7I- 2y2 (1 - cos 02)+2y3 (1 - cos 03).
(3.2.9)
В силу циклических граничных условий имеем Qi=2nki/L, где - целые числа,
пробегающие значения от 1 до L.
Введем параметры $j=yj/M. Тогда функция f(y), определенная формулой
(3.2.6), запишется в виде
f (У) - (2НуГ ехР &У (Pi + Рг+Рз)] X
2л
X fffexpl - 2 iy (pt cos 0! -1- р2 cos 02
0
Рз cos 03)] dQx dQ2 d% =
3 2Л
= II i eilby { cos Ь dQj. (3.2.10) y = l 0
Однако известно, что
2л
f CO5Hrf0 = Л (Ш (3.2.11)
о
6*
84
Глава III
где Jo(x)-функция Бесселя нулевого порядка. Следовательно,
f (У) = Д ещ1у У0 (2р0 (3.2.12)
В одномерном и двумерном случаях это произведение содержит соответственно
один и два сомножителя. Используя (3.2.12), можно написать общее
выражение функции распределения Gn(o2) для л-мерной решетки:
си
O,(o>!)=^f J"exp(- iynf)
п exp (2/Pyt/) J0 (2pyt/) | dy.
/=> J
(3.2.13)
Из формулы (3.2.9) видно, что максимальная частота для л-мерной простой
кубической решетки определяется равенством
= (3.2.14)
С помощью таблиц преобразования Фурье [63] можно получить для функций
Gi((o2) и Gг((о2) следующие аналитические выражения:
(3.2.15)
Qj (<в2) = [яю|Л|>2 - W2] .Ю2 <<*>?"
Ог (ю2) = 0, ю2 > <в?,
а'*-щ?=якШЬ)-
если (c)*(<4 -<"*)> ISyjYj, (3.2.16)
л / 1 (r) V(r)!-(r)2 \
если 0 < со2^ - о2) < 1 6YjY2,
