Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
равно
где Q=LiLzL3-объем тела. Аналогично число продольных колебаний с
частотами, меньшими о, равно
Если обозначить сумму Nt{<*) +Ni{a>) через N(a), то
Из формулы (3.1.21) мы видим, что с увеличением ю N(g>) беспредельно
возрастает. Однако реальный кристалл имеет только 3rN частот нормальных
колебаний. Чтобы сделать дебаевскую модель применимой к реальному
кристаллу, мы должны положить М(ю)=0, начиная с частоты, для которой N(a)
достигает значения 3rN. В соответствии с этим мы определим частоту (c)в
(3.1.19)
(3.1.20а)
(3.1.206)
78
Глава III
из условия
или в явном виде
виде
Теперь функция N(a) может быть представлена как
По определению функция распределения частот может быть выражена через
N(at) следующим образом:
Из (3.1.24) и (3.1.25) мы получаем, наконец, дебаевское приближение для
функций распределения частот кристалла
Следует подчеркнуть, что (c)к является искусственным пределом частоты,
который приводит к правильной нормировке g((o), но не имеет простой связи
с истинной максимальной собственной частотой кристалла.
Вывод уравнения (3.1.26) Дебаем чрезвычайно сложен и не обладает
изяществом и простотой, характерным для его более поздних работ.
Единственной причиной, которой можно объяснить использование им
неестественной в данном случае сферической геометрии вместо
прямоугольной, является то, что он в сущности переписывал свою докторскую
диссертацию, посвященную теории рассеяния света сферическими телами. Эта
N (о) = 3rN, о > (j)D.
g(о)d<a = -gjw[N (о4-da) -N (to)] =
0<о<(йо,
(3.1.26)
g(a) = 0,
О >(йд.
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 79
работа сделала Дебая экспертом по нормальным колебаниям сферы.
Время от времени предпринимались попытки улучшить дебаевский спектр,
определяемый формулой
(3.1.26). Одна из ранних попыток состояла в определении различных
максимальных частот для продольных и поперечных нормальных колебаний
путем нормировки соответствующих спектров на rN и 2rN. Другое предложение
состояло в том, чтобы использовать дебаевское приближение только для
описания акустических колебаний, а вклад оптических колебаний описывать с
помощью Зг-3 надлежащим образом нормированных 6-функций на частотах,
аппроксимирующих ветви оптических колебаний. Но каждое из этих уточнений
давало также приближенный спектр, который, однако, утрачивал простоту,
делающую распределение (3.1.26) столь удобным для вычислительных целей.
Наиболее широко дебаевский спектр использовался при вычислении
теплоемкости. Успешное применение его для этой цели связано с тем, что
теплоемкость при низких температурах зависит главным образом от поведения
функции g(a) при малых о. При малых о функция g(o) ведет себя в
дебаевском приближении так же, как и для модели дискретной решетки. Этим
и объясняется успех дебаевской модели. В пределе высоких температур любой
надлежащим образом нормированный спектр дает для теплоемкости результат,
соответствующий равному распределению энергии по степеням свободы. Из
(3.1.76) и (3.1.26) находим
где мы ввели характеристическую температуру Дебая
V
(3.1.27)
(3.1.28)
При низких температурах верхний предел интегрирования в (3.1.27) можно
изменить на бесконечность, и мы
80
Глава III
получаем "закон Р" Дебая
С" 4л4 ~
3rNk 5
ZrNk
v
(3.1.29)
Расчет интеграла (3.1.27), справедливый при всех температурах, был дан
Делоне [4].
Из уравнения (3.1.27) видно, что теплоемкость любого кристалла при любой
температуре Т определяется в приближении Дебая одним-единственным
параметром, а именно отношением во/7\ Это означает, что уравнение
(3.1.27) определяет универсальную кривую теплоемкости. Все
экспериментальные кривые можно совместить друг с другом, если каждому
кристаллу приписать свою характеристическую температуру 0D. Однако
оказалось, что величина во для данного тела зависит от той температуры,
при которой мы потребуем совпадения экспериментальной кривой и кривой,
определяемой уравнением (3.1.27). Блекман [55-58] показал, что
"температурная зависимость дебаевской температуры(c)" является следствием
неудовлетворительности дебаев-ского спектра как приближения к
действительному спектру кристаллического твердого тела. Впоследствии
сравнение такой "температурной зависимости", полученной из теоретических
и экспериментальных данных, рассматривалось как весьма чувствительный
критерий качества той или иной модели силовых констант, используемой при
расчете спектра. Подробнее этот вопрос будет обсуждаться в гл. IV.
§ 2. Функции распределения собственных частот
Рассмотрим теперь более подробно связь между функцией ю2 (к) и спектром
собственных частот. В этом параграфе мы будем следовать в основном работе
Ма-радудина и Вейсса [59]. Исходной является дисперсионная формула to2 =
(к), выражающая частоту нормаль-
ного колебания, принадлежащего /-й ветви, как функцию составляющих
волнового вектора. Поскольку векторы к образуют почти непрерывное
множество, естественно исследовать два следующих вопроса:
