Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, при фиксированном значении R и о-*0 величина | Y/oR |>1,
если только переменная У не стремится к нулю; в последнем случае функция
F(Y) неограниченно растет. Легко проверить, что
ОО
$F(Y)dY = \ (7.8.30)
- ОО
для всех положительных значений а и R.
Этот результат мы должны теперь записать в переменных задачи о
гармоническом осцилляторе. Величины ал в формуле (7.8.21),
соответствующие коэффициентам при ри(0) в (7.8.12), надо заменить на аа
соответствующие коэффициенты при Qh(0), - на bjk. Параметры Pft в формуле
(7.8.22) равны (2Af)_1 и А!(c)*/2, коэффициентам при />*(0) и Q|(0) в
формуле
(7.8.20). Тогда параметры yk = соответственно
равны
(2M)h а,, к -----52-*..
так что
.2
Диагональный член k=j вычитается, поскольку он не входит в формулу
(7.8.12). В силу соотношений (7.8.17) и (7.8.16) имеем
о2 = 2М (1- а)}) = 2М{\ - [р"(О]8}. (7.8.31)
а из (7.8.20) следует, что
ф = $- ^L-^(O).
Полная энергия системы равна (2N-l)kT/2 (каждой из случайных переменных
р2 и q2 соответствует энергия
366
Глава VII
kT/2). Следовательно,
г" 1 /п
0),
R2~NkT при N-*¦ оо.
(7.8.32)
Подставив эти значения R и а в (7.8.29) и положив n=2N - 1, мы получим
требуемую функцию распределения для P}(t). Заметим, что при /->0 получим
а2->0 и F(Y) ->6(У). Для больших N можно воспользоваться асимптотической
формулой Стирлинга для Г-функции. Тогда для (7.8.29) получим
Эта формула определяет распределение вероятности для составляющей
импульса Pj{t), которая при t-0 равна рДО). Иными словами, выражение
(7.8.33) есть вероятность перехода р}{0) -*Pj(/) за время t. В пределе
при N-*oo, t~* оо получим pjv(0~>О и импульс Pj(t) имеет максвелловское
распределение. Таким образом, система с большим числом степеней свободы
теряет память о начальном состоянии. Напротив, если N - конечная
величина, функция распределения имеет такой же почти периодический
характер, как и функция pjv(0* В моменты времени, когда функция pN(t)
принимает значения, близкие к единице, распределение для p;(t) становится
очень близким к 6-функции.
Закон, по которому кинетическая энергия осциллятора приближается к своему
равновесному значению, можно установить из рассмотрения тождества
(шрЩ=(м [Pj")-Pj(0)P"(t)Y)+
+2 Pj (0) pN (0(i[ Pj (t) - Pj (0) PN Щ + 2ЯГ p) (0) P% (0.
p \Pj (t) I Pj (0)] = {2nMkT [1-K (012Г'Л} X
(7.8.34)
где усреднение должно выполняться по распределению (7.8.33). Первый член
в правой части (7.8.34) равен
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 367
дисперсии функции распределения (7.8.33)
Т*П1-1Р*(012}. (7.8.35)
второй член равен нулю [см. (7.8.18)] и (1) = 1. Таким образом,
<гя Pj <'>>= т ':Г (:1 - [р" (0]'1+ш 4 <°> *'(')• (7-8.3в)
Так как при N -*¦ оо и /-> оо величина pjv(0 -*0, то видно, что энергия,
определяемая соотношением (7.8.36), приближается к равновесному значению
kT/2 с тем же временем релаксации, что и функция [рл(012* При i=О Pjv(0)
= 1 и средняя кинетическая энергия рассматриваемого осциллятора равна
p2j(0)/2M, как это и должно быть по условию задачи. Наиболее интересным
свойством функции (7.8.36) является ее поведение при больших, но конечных
значениях N. Выше было показано, что большую часть времени сохраняется
соотношение рN(t)=0{N-'h), где N - число степеней свободы. Следовательно,
p*N(t) = 0(\/N), так что при больших t формула (7.8.36) содержит два
члена, имеющих порядок флуктуаций. Первый член, всегда отрицательный,
пропорционален kT и не зависит от Р}(0); второй член, всегда
положительный, зависит от начального состояния. Если в момент t=0
кинетическая энергия (1/2Л1)/^ (0) равна своему равновесному значению
Л7/2, то оба члена в (7.8.36), содержащие р(/), сокращаются, и,
следовательно, всегда выполняется теорема о равномерном распределении
энергии по степеням свободы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Debye P., Ann. phys., 39, 789 (1912).
2. Born М., von Karma n Т., Phys. Zs., 13, 297 (1912).
3. Born М., Huang K.. Dynamical Theory ol Crystal Lattices, London, New
York, 1954. (См. перевод: Борн М., Кунь X., Динамическая теория
кристаллических решеток, ИЛ, 1958.)
4. d е L а и п а у J., Solid State Physics, Vol. 2, 219, New York,
1956
5. Blackman М., Handbuch der Physik, Bd. VII, Berlin, 1955, Teil I, S.
325.
6. Leib fried G., Handbuch der Physik, Bd. VII, Berlin, 1955, Teil I,
S. 104.
7. Lamb W. E" Phys. Rev., 55, 190 (1939).
8. J a m e s R. W., The Optical Principles of the Diffraction of X-
Rays, London, 1954. (См. перевод 1-ro издания: Джеймс P., Оптические
принципы дифракции рентгеновских лучей, ИЛ, 1950.)
9. Seitz F., The Modern Theory of Solids, Ch. XIV, New York, 1940.
(См. перевод: Зейтц Ф., Современная теория твердого тела, М.-Л., 1949.)
10. Peierls R., Quantum Theory of Solids, London, New York. 1955. (См.
перевод: П а й e p л с P., Квантовая теория твердых тел, ИЛ, 1956.)
11. Ferrar W. L., Algebra, A. Textbook of Determinants, Matrices and
Algebraic Forms, London, New York, 1941.
12. Bouckaert L. P., Smoluchowskl R., Wigner E, Phys. Rev., 50, 58
