Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марадудин А. -> "Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении" -> 105

Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.

Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении — М.: Мир, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakrisreshetki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 114 >> Следующая

зависящего от N, определяется формулой (7.8.5). Так как е(1 - |а|)/я<1,
то эта частота экспоненциально стремится к нулю при N -> оо. Поэтому
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 361
повторение конечных значений р^(0 происходит с частотой почти равной
нулю. Эти результаты находятся в качественном согласии с известным
замечанием Эренфеста (основанном скорее на стохастической модели, чем на
динамике), что периоды повторения флуктуаций малы, а периоды повторения
событий, соответствующих значи" тельному отклонению системы из положения
равновесия, очень велики.
В случае модели простой кубической решетки можно пойти еще дальше и
выяснить, как устанавливается максвелловское распределение в системе
частиц, для которых заданы импульсы Р}(0) в момент /=0.
Как было показано в гл. II, § 3, гамильтониан системы взаимодействующих
гармонических осцилляторов
ЛГ
я= ш 2 pj+? 2 (7-8-7)
у=1 J,k
может быть приведен к диагональному виду в результате перехода к
нормальным координатам {**, Q*} с помощью ортогонального преобразования
{1/#}
(Pj, q))='2iUJk{Pk, Qk). (7.8.8)
k
где коэффициенты Uhs удовлетворяют равенствам
2 Uksukt = bsl. (7.8.9)
k
Мы получаем
я=т S Вт p2i+м*)<й) • (7-8л0)
Решая уравнение движения для нормальных координат Q*+vlQk = 0 (7.8.11)
и применяя преобразование (7.8.8), мы находим Pj{t) - ajj{f)Pj{ 0) =
= 2 M*)/>a(0)+2M*)Qa(0), (7.8.12)
ьф} *
где
ajk (0=2 иhuь*cos(c),/, (7.8.13)
bIK(t) = - U]kMak sin(o^. (7.8.14)
362
Глава VII
Будем теперь считать, что система частиц образует кристаллическую
решетку. Из соображений симметрии следует, что величина не должна
зависеть от / и
ее значение совпадает со средним по всем /, т. е.
N
ан У)=2 У) - k=1
в 17 S cos Ц иь*иш* = wScos ¦ (7-8,15)
S k S
Величина, стоящая в правой части равенства, точно равна нормированной
автокорреляционной функции для составляющей импульса частицы,
принадлежащей каноническому ансамблю [см. формулу (7.7.37а)].
Следовательно,
";/М = Рлг<0. (7-8.16)
Кроме того, с помощью равенств (7.8.13) и (7.8.14) легко показать, что
S [а)к + {М<йкГ2Ь)к) = 1. (7.8.17)
k
Обратимся теперь к нашему случаю, когда вся информация о системе сводится
к знанию значений импульсов Pj(0) в момент /=0 и энергии системы §.
Вычислим вероятность того, что спустя время t система из состояния, в
котором /-я частица имела ."-составляющую импульса Р){0), перейдет в
состояние с импульсом Pi(t). При определении этой вероятности следует
провести усреднение по начальным состояниям, совместным с нашим
микроканоническим ансамблем.
Мы имеем
{pj(t)) = Pj(Q)PNV)- (7.8.18)
Действительно, (р*(0)) = 0, если А# / и ^Qft(0)) = 0,TaK как функция
распределения для канонического ансамбля является четной относительно
переменных р и q. Следовательно, величина (pj(t)) приближается к своему
равновесному значению по тому же закону, что и функция pjy(t), и обладает
соответствующими циклами Пуанкаре.
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 363
Найдем теперь распределение для величины
У (t) = Р) (0 - Рлг (<) Pj (0) (7.8.19)
[которая равна выражению, стоящему в правой части формулы (7.8.12)],
предположив, что все возможные начальные состояния системы {рл(0)} и
{Qft(0)} принадлежат микроканоническому ансамблю (с фиксированной
энергией $)
Ш 2 А(0)+ 2т m<?>IqI(0)=я2=g- 2Ж(0) кф] *=1
(7.8.20)
и имеют равные статистические веса.
Таким образом, задача сводится к отысканию распределения для функции
y=2la)Xj, (7.8.21)
если точки ОД равномерно распределены на эллипсоиде
2 hxl = ^- (7.8.22)
*=i
Величины xh, ah, Рь должны быть отождествлены с соответствующими
величинами в формулах (7.8.12) и
(7.8.20). Искомая функция распределения может быть представлена как
преобразование Фурье характеристической функции Да)/ДО), где
/ (а) = J ... J ехр (ia 2 ajxj) dxx ... dxn =
= j* ... J exp b (fl2 - 2 hxk) exP (f'a 2 aJxi) dxi -dxn' EP A*#
(7.8.23)
Дополнительно введенный экспоненциальный множитель не меняет величины
интеграла, так как он тождественно равен единице, когда точка Xj лежит на
эллипсоиде интегрирования. Положим^ - У//Р/ и У/~ Интеграл по сфере,
полученный в результате
364
Глава VII
этой замены, преобразуем в интеграл по всему пространству, введя
интегральное представление б-функции
б (Я? - ?VI) = ^ / ехр /р (Я2-^ У>) dp. (7.8.24)
- СО
Тогда, если мы положим о2 = 2 Y*. то
I<">- Л*"W* П /Л" X
X ехр {- Y) ф + *р)} dVj =
•СО
я1*/2 /OD\(n/2)-l
=га*(?) (7-8-25)
где У-функция Бесселя. Очевидно, что
л/2 о2 [(п/2)-1|
f (0)=----------г- ---------- (7.8.26)
'W (Pi...Pn)v* U"/2)-l]l V
и, следовательно,
Anm-tiaoR). (7.8.27)
Искомая функция распределения есть преобразование Фурье функции /(")//(0)
F(y)=-k / Ш e'"rda- (7-8-28)
- 00
Если мы введем новую переменную интегрирования z = aoRt то получим
р iy\___ Г (я/2)___________у
К ' я'/*аЛГ(я/2-"/2)
([l-OWf-^, если |W|<1
10. если |К/о/?| > 1. 1
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 365
Заметим, что в пределе при а-*0 функция F(Y) стремится к 6-функции.
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed