Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
ангармонических кристаллов. Наконец, в последнее время формализм
временных парных корреляционных функций был использован [350] в теории
резонансного поглощения без отдачи \-лучей в кристаллах (эффект Мессбау-
эра [347-349]. Применение этой теории может помочь при интерпретации
данных, полученных с помощью этого нового экспериментального метода как в
твердых телах, так и в жидкостях.
Временная корреляционная функция импульса может быть найдена тем же
способом, который был применен при определении формулы (7.7.29). Мы
получаем
</>"(0,0)/>3(/, *))=4^2мк)Х
к
х<?" 0)^(5) х_е-№,ы х
X {ехр [- i (2як • х (/) - (к) *)] +
4- ехр [- рйсоу (к)] ехр [/ (2як • х (/) - "у (к) i)]} • (7.7.36)
358
Глава VII
В классическом пределе автокорреляционная функция имеет вид
{Ра(0. 0)/>а(0, 0> = -р^2[*"(?)ГСО8Мк^
к
J
В случае простой кубической решетки с взаимодействием только между
ближайшими соседями автокорреляционную функцию для одной составляющей
импульса, например для ^-составляющей, можно записать в виде
{рх (О, 0) рх (0, = cos t(o (k), (7.7.37а)
k
где, согласно формуле (3.2.9),
3
Ми? (к) = 2 J] Yj (1 - cos 0Д 0у = • (7.7.376)
]=1
В следующем параграфе эта формула будет использована при обсуждении
проблемы необратимости и циклов Пуанкаре.
§ 8. Временные корреляционные функции импульса и необратимость
Корреляционная функция импульса, определенная формулой (7.7.36), играет
центральную роль в теории явлений переноса в жидкостях. Различные
коэффициенты переноса могут быть выражены через интегралы по времени от
определенных величин, взвешенных с этими корреляционными функциями.
Известно, что зависящая от времени функция динамических переменных
изолированной системы, состоящей из конечного числа частиц, обладает
циклами Пуанкаре. Это означает, что каждое из ее допустимых значений
повторяется с течением времени бесконечное число раз. Существование этих
циклов противоречит представлению о том, что с течением времени система
переходит в состояние равновесия, которое не должно зависеть от ее
начального состояния. Если при t ->¦ оо достигает*
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 359
ся состояние равновесия, то автокорреляционная функция импульса типичной
частицы (ра (0, 0)р"(0, /)) должна в пределе стремиться к нулю. С другой
стороны, в силу существования циклов Пуанкаре каждое из допустимых
значений этой функции будет воспроизводиться бесконечное число раз.
Чтобы показать, как может быть разрешен парадокс одновременного
существования состояния равновесия и циклов Пуанкаре для системы с очень
большим числом степеней свободы, мы воспользуемся тем благоприятным
обстоятельством, что корреляционная функция для системы взаимодействующих
гармонических осцилляторов может быть исследована достаточно детально.
Наше рассмотрение будет основано на работах Мазура и Мон-тролла [351,
352] и Хеммера [353].
Мы ограничимся исследованием нормированной автокорреляционной функции
pw(0 (как функции от N и t) для составляющей импульса частицы вдоль оси х
в простой кубической решетке. Из (7.7.37а) имеем
Очевидно, что рлг(О) = 1. С другой стороны, известно, что конечная сумма
косинусов является периодической или почти периодической функцией от t.
Следовательно, любое значение функции рл(0 должно повторяться бесконечно
много раз. Мы не будем детально исследовать характер изменения функции
рлг(/)> а выясним лишь ее статистические свойства.
Рассмотрим функцию
Обозначим через NT(q) число, показывающее, сколько раз в интервале {-Т,
Т) функция F(t) принимает значения q или сколько раз функция p(t)
принимает значение q/N, Тогда
1-2 cos to (к). (7.8.1)
к
F(t)= 2 cos to (к), к
(7.8.2)
L(q)= lim WNT(q)
Г_кол 61
(7.8.3)
360
Глава VII
есть средняя частота повторения значения q функции F(t) или значения q/N
функции рлг(0-
Известны определенные статистические свойства функции L(q) для больших N.
Они были изучены Кацем, Слэтером, Мазуром и Монтроллом [351, 354, 355].
Известны два важных свойства функции L(q):
L (bNl/i) ~ ^ ехр (- Ь2), (7.8.4)
где ft и а не зависят от N и |а|<1. Оба эти выражения справедливы при #-
>¦ оо. Здесь
(r)о = -J7- 2 0)2 ' <78'6)
к
причем частоты и должны удовлетворять условию
ПРИ N-*-oo.
к
Если при /->-оо импульс частицы приближается к равновесному значению, то
pw(0 ->0. Известно, что для системы из N частиц статистические флуктуации
имеют порядок MN\ Поэтому мы можем ожидать, что флуктуации функции рлг(0
имеют этот же порядок. Найдем среднюю частоту, с которой достигается
значение b/Nli* при N->oo. Эта величина будет совпадать со средней
частотой, с которой функция F(t) принимает значение bN'!*. Из (7.8.4)
следует, что она равна
?ехр(-Ь%
т. е. имеет порядок корня из среднего квадрата частоты нормальных
колебаний. Таким образом, повторение значений функции рлг(0" имеющих
порядок статистических флуктуаций, происходит с высокой частотой порядка
средней частоты нормальных колебаний.
Частота, с которой функция рл(0 достигает значения а (|а|<1), не
