Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
и Нп,ПгПгП1 (z1z2z3zi) - полином Эрмита от четырех переменных [88].
Формула (12.7) находится в полном соответствии о общим результатом (4.3),
Глава VIII
Симметрии релятивистских волновых уравнений и уравнений с внутренними
переменными
§ 1. Динамическая симметрия релятивистского волчка
В предыдущих главах мы показали, что нерелятивистские
квантовомеханические системы, такие, как осциллятор, ротатор, атом
водорода, обладают динамическими симметриями, которые позволяют описывать
поведение системы полностью в рамках одного неприводимого представления
группы симметрии. В настоящей главе будут рассмотрены некоторые простые
релятивистские волновые уравнения и уравнения теории поля, причем мы
покажем, как метод динамических симметрий, использованный в том же
аспекте, что и в предыдущих параграфах, описывает эти волновые уравнения.
Рассмотрим в настоящем параграфе некоторое модельное релятивистское
уравнение со спектром масс.
Одним из основных инструментов для описания поведения квантовых систем,
будь то атомы, молекулы, ядра атомов или элементарные частицы, являются
волновые уравпения. Волновые уравнения можно рассматривать как с учетом
специальной теории относительности Эйнштейна,- это релятивистские
волновые уравнения, подходящие для описания квантовых объектов,
обладающих скоростями, приближающимися к скорости света,- так и
нерелятивистские волновые уравнения, например уравнение Шредингера и
уравнение Паули, описывающее частицу со спином 1/2. Что касается
релятивистских волновых уравнений, предназначенных в первую очередь для
описания элементарных частиц, то их можно разделить, хотя и несколько
условно, на три типа. Во-первых, это уравпения для волновой функции,
имеющей конечное число компонент и описывающей объект с конечным спином.
Первое релятивистское волновое уравнение для частицы со спином V2 было
написано в 1928 г. Дираком [321]. Во-вторых, это уравнения типа
написанного в 1932 г. Майорана [322] для волновых функций с бесконечным
числом компонент. К третьему типу релятивистских уравнений, описывающих
объекты с бесконечным числом спиновых состояний, можно отнести уравнения
с непрерывными "внутренними" переменными. Впервые такое уравнение,
основанное на модели релятивистского ролцка, было предложено в 1947 г,
Гинзбургом и Таимом [323],
238
Ниже Mtt остановимся на последних двух тинах уравнений, являющихся
основной темой настоящей главы.
Построение релятивистских уравнений тесно связано с теорией представлений
групп Ли, особенно с теорией неприводимых представлений группы Лоренца и
группы Пуанкаре.
Обзор теории релятивистских уравнений с внутренними переменными был дан в
работе Гинзбурга [324] (см. также [325]). После того как на ускорителях
было открыто в шестидесятые годы большое число новых элементарных частиц
- резонансов, спектр масс которых находится в настоящее время примерно в
интервале от одной до пяти протонных масс, а спины имеют большие
значения, до s ~10 (см. таблицы Розенфельда), опять возродился усиленный
интерес к релятивистским уравнениям со спектром масс и высшими спинами,
особенно в связи с успехами применения в теории этих уравнений идей и
методов динамических симметрий. Особенно большое количество работ на эту
тему стало появляться после важной статьи Иамбу [327]. Причем в последнее
время разрабатывается как подход, основанный на введении внутренних
переменных, так и подход, основанный на приписывании волновой функции
индекса, пробегающего бесконечный набор значений, определяемый групповыми
свойствами, которые постулируются для волновой функции. В этой связи
представляет интерес изучить все аспекты теории бескопечнокомпопентиых
уравнений со спектром масс, в частности динамические симметрии этих
уравнений, в рамках развитого в предыдущих параграфах подхода.
Перейдем теперь к рассмотрению релятивистского уравнения Гинзбурга -
Тамма, следуя работам [323 - 325].
Как уже отмечалось, Гинзбург и Тамм предложили ввести новые внутренние
непрерывные переменные, например 4-вектор иц. Волновая функция Ч*-
становится при этом зависящей от координат центра масс частицы хр и от
внутренних переменных щ,. Можно считать, что 4-вектор и^ является 4-
вектором относительного движения какой-то структурной составляющей
элементарной частицы около ее центра масс. Исходя из этих соображений,
рассмотрим генераторы группы Лоренца Muv. Эти генераторы являются
обобщением на случай четырехмерного пространства генераторов поворота в
обычном трехмерном пространстве xt, которые можно реализовать известным
образом:
Если построить квантовомеханический гамильтониан ротатора, то он будет
иметь вид
(i, ft = 1,2,3). (1.1)
Ж = (2 jy'L-aLi*.
(1.2)
239
Антисимметричная матрица Lik выражается через оператор углового момента
следующим образом:
Величина J связана с моментом инерции волчка. Гинзбург и Тамм предложили
следующее обобщение описанного трехмерного волчка. Пусть генераторы
группы Лоренца M^v задаются формулами
