Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Bi = ~yY~ 4- ^2 = Y2 - ^2^' (11.13)
удовлетворяющие бозевским перестановочным соотношениям
[At, Aj] = [a!, Aj] = 0; [At, Aj] = Si;;
[Вь B}] = [Bj, Bj] = 0; [Ви Bj] = 6u.
Гамильтониан (11.1) сохраняет свой вид при преобразовании (11.12).
Когерентные состояния | рх, р2> являются нормированными собственными
векторами операторов уничтожения (11.12):
Ai | рц р2> = р, I рц р2>; (11.14)
Bi I Si, S2> = бг I 61, б2>. (11.15)
Волновые функции этих состояний получаются из волновых функций | ах,
а2> (см. § 4) с помощью замен ах = (Рх + *Р2)//2,
аг = (Pi - Фг)/1^2 и в цилиндрических координатах имеют вид
[299]
<г, Ф | рь р2> = (^)'/2 ехр (- -|р1Цр212 ) X
- № + V'-Т Г
Когерентное состояние | рх, р2> при повороте в положительном направлении
на угол 0 в плоскости g1? q2 переходит снова
229
X ехр
(11.16)
в когерентное:
ехр (М3) | р1; р2> = | e~^v е*02>. (11.17)
Разлагая когерентное состояние | рх, р2> в РЯД по степеням рх, р2,
находим
I Pi, Рг> = ехр [- (| Pi |2 + | Pa |2)/2] X
V-I V-\-l
х Kz>- (11Л8)
", *
Таким образом, волновая функция когерентного состояния (11.16) служит
производящей функцией для волновых функций стационарных состояний (11.9).
Интеграл перекрытия <б1;б21 Pi,P2> получается из ИП (11.3) с помощью
подстановки
" _ Pi+ip2 Pi - Фг
ai~ уг "2- /2
Vi + П'а s Yi - *'
2
/2 ' VI '
Амплитуда <6 | р>, очевидно, ввиду (11.18) является производящей функцией
для ИП (v',l\v,iy. Разлагая <61 Р> в ряд по степеням 6*, 62, рх, р2 и
используя формулы (4.14), (4.15) гл. II, находим
(v',l\v, 1} = cos(r))/4+г/а(cos 0), (11.19)
где dm, m' - d-функция Вигнера [320].
В работах [298, 299] формула (11.19) была выведена другим способом. Так
как dm,m'(cos 0) является матричным элементом унитарного неприводимого
представления группы О (3), то из (11.19) можно получить некоторые
правила сумм. Если экспериментально не разрешается структура линий,
отвечающая определенным тп, то представляет интерес величина
т=["', и]
h'v = ij | \v, m)> |2, (11.20)
771=-[U', U]
где [u\ v\ = min (и, и'), определяющая относительную интенсивность
полосы. Из (11.19) следует правило сумм, установленное в [299]:
Yj i*v = ( 2;+1) cos2-5-. (И21)
v+v'=ij
Перейдем теперь к обсуждению запрещенных электронных переходов, не
изменяющих симметрию молекулы. Как уже указывалось выше (в § 8), в
кондоновском приближении электронный момент запрещенного электронного
перехода равен нулю (см.
(8.1)). Вследствие этого обычно, следуя Герцбергу - Теллеру
230
[275], рассматривают разложение электронного момента перехода в ряд по
нормальным координатам колебательных мод (см. (8.2)).
В случае двукратно вырожденной моды в этой связи естественно
рассматривать матричные элементы вида <V, т! | rpei44) | v, тУ, где р и q
- целые числа. Аналогичные амплитуды возникают при учете ангармонизма.
При вычислении этих амплитуд интегрирование по углу ф приводит к
очевидному правилу отбора т! - - т = q. Дальнейшее интегрирование по г
приводит, как показано в [298, 299], к появлению гипергеометрической
функции Аппеля от двух переменных [88, 223]. Приведем явное выражение для
амплитуды, полученное в [298, 299]:
х Г(Уа(1' + 1 + р)+1)
Ш'!
ч/ z? Д А 2. ^ v. У v'. 7 I л. ]/ | i- 2со . 2со' ^
Х М 2-------------------' -' -г"' l + 1'1 +1' 'ш + ш' ' \о+ ?>'")¦
(11.22)
Из (11.22) легко следуют ИП <г/, Г | и, iy для радиальных волновых
функций (г) (11.11). Отметим, что такие интегралы перекрытия совпадают с
ИП для волновых функций ангармонического потенциала типа сингулярного
одномерного осциллятора, вычисленных в [302], если отождествить параметр
сингулярности а с квантовым числом I. Там же приведены рекуррентные
соотношения для ИП, которые целиком переносятся на рассматриваемый
случай. Именно:
/ ' V I I о 74 со-со' Г (v - l){v-\-l) Т'2 / ' 7' I О 7ч I
<с; ,1 \v + 2,/> - ь) + [0, _ г + 2)(г, I + 2) ^ \v
2J) +
2со Г ("'-!')("' + /') УЫ
+ со + со' L (V - I + 2)(г; + 1 + 2) j ^ Z' I v' L/ '
+ 2-------co'(7; + l)-co("4-_lj гт- <у', г>; (11.23)
(со + со')[(г; - г ¦ 1- 2)(v + I + 2)j'4 41
<v 4-2 l'\v IS - ш~ш' Г {у'-1')(у' + П ]•/" х
4 + , I ' > со + со' L (г;' - V + 2)(т/ + V + 2) J
Х .
X <г/ -2,1'\ О, I> + - 2"' , I" т-Т~г~ l)(v + l)- - 1Vz ' I 1 СО +
СО L - I ¦
со -h со' L (o' - V+ V + 2)
X <г/, l'\v - 2, Z> + 2 м (V + 1)-со' (, + 1)
1 П (co + co')[(c;'-Z' + 2)(77' + Z' +
2)]V2
X
-X
xW,l'\v,l). (11.24)
Эти рекуррентные соотношения позволяют просто вычислять значения
интегралов перекрытия.
231
Отметим, что интеграл перекрытия (v', I \ и, Гу рассматривался ранее в
работах [317] и для него были получены некоторые рекуррентные
соотношения, отличающиеся от (11.23), (11.24).
Рекуррентные соотношения для ИП <(г/, Z' | | v, iy получают-
ся из соотношений (11.23) и (11.24) путем замены и'-*¦ и' + р/2 в
коэффициенте при <г/, Г \ v, Vy соотношения (11.23) и замены и -> v + р/2
в коэффициенте при <г/, Г \ v, iy соотношения (11.24).
Обсудим теперь кратко, следуя [299], случай трехкратно вырожденной
