Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
где v = (vi, у2, . . yjv) -набор колебательных квантовых чисел; Ni =
[(я.Д со!]-'/- (х) - полином Эрмита.
В возбужденном электронном состоянии молекулы гамильтониан Жг,
описывающий колебания ядер в новых нормальных координатах {(ДД, имеет вид
N
^1 = ~2~ У | {bk,bj},
к =1
где (Оц - частота, отвечающая нормальной координате qjs, а операторы Ьк,
Ъ\ и волновые функции | и'У даются формулами (2.2) и (2.3) с заменами q,
-> qi, pt -> pi, со; -> &н, уг -> y(.
^ В результате электронного перехода происходит деформация равновесной
конфигурации ядер молекулы, что приводит к изменению равновесных длин
связей и углов между ними. Это, в свою очередь, означает, что нормальные
координаты до и после электронного перехода оказываются связанными
соотношением Душинского [282]
N
q-k =?= 2 Ski4i + к = 1, 2,.. . , N, (2.4:)
i=l
где || Skt || - ортогональная матрица, описывающая поворот в TV-мерном
пространстве нормальных координат; dk - сдвиг в этом пространстве.
Преобразование (2.4) индуцирует каноническое преобразование от операторов
аь ai к операторам Ьк, Ък вида
¦ N ' . .у,
Ък = ~2~ ^ ((r)itok)-'hSki [((О* + щ) + (сщ - CD;) flf] + dk,
(2.5)
N ' _ ¦ ,/s
^ Xj K(r)"!- "*•) ai + H +>") ai] + {-) dk.
i=l
Детальное рассмотрение канонических преобразований операторов как бозе-,
так и ферми-типа дано в работе [109].
Поскольку время электронного перехода мало по сравнению с характерным
периодом колебаний ядер в молекуле, то изменение колебательного
гамильтониана от Ж,п к Жt можно рассматривать
7 И. А. Малкин, В. И. Манько
193
как внезапное возбуждение ./V-мерного осциллятора, в результате которого
изменяется и частота нормальных колебаний, и и геометрическая
конфигурация молекулы. Преобразование (2.5) позволяет выразить
гамильтониан 3tt через операторы aj, af в виде
.V
N
S (Ciai С id?) -f- Co.. (2.6)
i-1
Это приводит к возможности рассматривать вибронные переходы молекул как
задачу о внезапном возбуждении квадратичной системы. В гл. III была
рассмотрена задача о возбуждении нестационарной квадратичной системы,
гамильтониан которой имеет вид (2.6) с коэффициентами b\)\ Ci, С0,
являющимися произвольными функциями времени. Для этой задачи в гл. III
была получена функция Грина и найдено выражение для амплитуды перехода
между фоковскими состояниями через полином Эрмита от нескольких
переменных.
Амплитуда перехода между стационарными состояниями начального Жы и
конечного /У/ч гамильтонианов в случае внезапного возбуждения дается
интегралом перекрытия между этими состояниями
TV'V = <г"\ f | v, in). (2.7)
§ 3. Динамическая симметрия
В качестве группы динамической симметрии стационарного гамильтониана Жы
рассмотрим, следуя [294, 300], группу G = = Sp(2N,R) /\H(N), являющуюся
полупрямым произведением вещественной симплектической группы и группы
Гейзенберга - ВеЙля H(N). &
Реализуем эту группу как подгруппу симплектической группы Sp(2(N -f- 1),
R) большей размерности [202]. Симплектиче-
ские матрицы размером 2N X 2N удовлетворяют условию g"1 =
= J~xgJ- Матрица Jjv размером 2N X 2N имеет вид
II ° - Sn II II0 1II
0 J* ГДе Sn = \i о||
- матрица размером N X N.
Всякий элемент g ЕЕ G может быть записан в виде g - g0h, где g0 и h -
симплектические матрицы размером 2(N -f- 1) X X 2(N + 1) блочного вида:
1 0 0 1 /? з I
go = 0 #0 0 ; h = 0 Е JNh'
0 0 1 0 0 1
194
причем g'b - симплектическая матрица размером 2N х 2N; Е - единичная
матрица; h' - 2A-MepHbra вектор; z - число. Матрицы вида h принадлежат
подгруппе Гейзенберга - Вейля.
Проективные представления неоднородной симплектической группы ISp(N, R)
рассмотрены в работах [109, 110, 197, 198, 2001.
Генераторы группы G могут быть построены из операторов рождения и
уничтожения (2.2). Именно, генераторы h^, р = = 1,2,..., 2N, отвечающие
подгруппе Гейзенберга - Вейля H(N), имеют вид
ht = аг; hN+i = af. (3.1)
Генераторы Х^-" отвечающие подгруппе Sp(2N, R), равны
l^v|l =
f
a.a- V? {а-, а" } г з 1 г j
1k {ai . aj} ai aj
(3.2)
Генератору центра z группы G отвечает единичный оператор Е.
С целью построения группы динамической симметрии для нестационарного
квадратичного гамильтониана Ж (t), описывающего колебания ядер как до,
так и после электронного перехода, будем следовать методу, предложенному
в работах [74, 811. В них показано, что с гамильтонианом Ж (t) вида (2.6)
можно связать 2N линейных по координатам и импульсам интегралов движения
Л1' = a (Wpj +
;¦=1
№ = |(4fp;+M^;) + 6r,
;=1 (3.3)
N 4
.2
;=i
. /А,<" А,<*)\
где блочная вещественная матрица А = 1 ^(3) ^(4) I является
симплектической. Явные выражения для MjP(i) и fflit) приведены в [76]
(см. (4.3) гл. III).
Оператор эволюции U, который удовлетворяет уравнению
т(tm)- = жи(1) (и (0) = /),
связывает интегралы движения /I1* и if с координатами qt и импульсами Pi:
if = U{t)PiU-'(ty, if = U(t)qtU-\t). (3.4)
В силу (3.3), (3.4) интегралы движения
А{ = 2-*/> (i/I1' + if), А\ = 2-V. (_ ilf + if)
7* 195
евяйаны с операторами аг, а/ соотношениями . :
