Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
ЕР (со, п, е%) = jj d2a d2P Pin (а) Pt (Р) X
2 оо
X ехр (- | а - р |2) ^ ^ | Oj (I) |2 [| а; |2 б (со01 - х;- + со) +
Н- J Pj Р б (cooI Xj -Т со)] (5.12) (е% = е\х -f e\u = 1, со0 = 2л/Г),
185
где усреднение по начальным когерентным состояниям и суммирование по
конечным когерентным состояниям проведено при помощи матриц плотности
pin, рг, взятых в Р-представлении Глаубера (см. [94J и (2.24)).
Полагая в (5.12) Pin(а - а0), Pt = л-2, получим
"2ш2
ёР (со, п. ек) = 2j 2_j I I2 П аг° I2 6 + (r)) +
j=l Z =-оо
+ (| а;0 |2 + 1) Й + w)]* (5.13)
В приближении | а;-0 | 1 выражение (5.13) переходит в
классическое, если положить, согласно работе [240],
"г = [е (0) (рх0 + груо) - е (0) (z0 + ^о)]/2 ]Агг',
. (5.14)
ai - Iе (0) (Руо + г"Рхо) - е (0) (г/о + гГо)]/2 у тп\
здесь г0 и рп - соответственно начальные координаты и начальный
обобщенный импульс частицы.
Для мошности спонтанного излучения при переходах, аналогично (5.12),
получим
оо
ёР (и, п, е%) = ^ (| оу (I) |2 тг [пАн, mi 6 К - щ1 - со) +
I--оо
+ {п1 + 1)6 Tii+i, mi 6 (Xi + co0Z -Г со)] + | Оа (Z) |2 X X бу,,
тЛгаа6"2_1, m26(x2 - ")"/ - со) + (гаа + 1) 6n,+i, тДУ-2 + "V + со)]}.
(5.15)
Из выражения (5.15) видно, что переход между квазиэнерге-тическими
состояниями | п, f> -> | ш, t) дает не одну линию, а серию линий (см.
[175, 176]), так как квазиэнергия определена по модулю (О0.
Отметим, что впервые спектр излучения при переходах между КЭС был найден
Блохинцевым [171] при рассмотрении эффекта Штарка в переменном
электрическом поле. При этом нельзя сказать, какое из состояний: | п, О
или | т, О - обладает большей квазиэнергией. Поэтому, в отличие от
стационарного случая, возможны как переходы | п, f) -> | т, О, так и
переходы | т, О -> | п, О-
Рассмотрим теперь индуцированные переходы. Будем считать, что
индуцирующая внешняя волна с интенсивностью U (со) моно-хроматична и
имеет какую-либо одну частоту со. Происходят переходы как с
индуцированным излучением, так и с индуцированным поглощением. Интересен
суммарный эффект обоих этих процессов [228, 241].
186
Для переходов | пг, п2, ty - \ тп^п^, ty излучаемая суммарная мощность
определяется как
("ы, п, е,) = -пу U ((c)">) I Oj (Щ |\ (5.16)
muiw
где
со*1) = ю0№ - xi > 0> - оо < Л1) < оо; (5-17)
при этом Z(1) подбираются так, чтобы со (И > 0. Поглощаемая сум-
марная мощность равна
,Гит ((c)(*), п, ех) = - U ((c)<") j стДЛ") |2, (5 18)
тог '
где
со<2) = хг - ы0К2> >0, - оо < 1<2> < оо. (5.19)
Аналогичные соотношения получаем для переходов | пг, п2, t}-> >- | иг.2"
ty, /1g ш2;
•5t>sum ((c)<", гс, е*) - U ((c)<") | a2ZW р, (5.20)
mcow'
где
(c)<3> - a>0Z<3> - х2 > 0, - оо < № < оо, (5.21)
и
^sum ((c)<*>, гс, е*) = - ^ ?7((c)<*)) | ст2 (Z<") |S (5.22)
morw
где
о)(4) = х2 - (о00, - оо <С IW <1 оо. (5.23)
Если рассматриваемая система имеет отрицательные щ, то из выражений
(5.16), (5.17), (5.20) и (5.21) следует, что внешнее излучение будет
усиливаться уже на основной частоте xj. Из этих выражений видно также,
что, каковы бы ни были xj: положительные или отрицательные, всегда
найдется такой номер гармоники № или начиная с которого система работает
как усиливающее устройство. На возможность эффекта усиления падающей
радиации системами с периодическим во времени гамильтонианом было указано
в [242, 243].
Глава VII
Динамическая симметрия вибронных переходов многоатомной молекулы
§ 1. Введение
При описании молекулярных систем используют обычно адиабатическое
приближение, следуя классической работе Борна и Оппенгеймера [245].
Параметром адиабатичности при описании взаимодействия электронов и ядер в
молекуле служит величина
4 .--- -
х = у те1М, где те - масса электрона, М - средняя масса ядра в молекуле.
Полная волновая функция Y (г, q) молекулы удовлетворяет уравнению
Шредингера Ж~? = F, причем г означает совокупность координат электронов,
a q - ядер. Оператор Гамильтона Ж равен
Ж = Те + TN + и (г, q)t (1.1)
где Те и Тjv - операторы кинетической энергии электронов и ядер, U (г, q)
- полная потенциальная энергия. Так как периоды колебаний ядер в молекуле
около равновесных положений много больше характерных времен движения
электронов, то можно описывать движение электронов в поле зафиксированной
конфигурации ядер. Полная энергия электронов, зависящая при этом от
конфигурации ядер, является эффективной потенциальной энергией, в поле
которой колеблются ядра.
Таким образом, в приближении Борна - Оппенгеймера [245] полную волновую
функцию молекулы Т* (г, q) можно представить в виде произведения
электронной волновой функции ф" (г, q) и волновой функции, зависящей
только от координат ядер Tan (q). Эти волновые функции удовлетворяют
системе уравнений
[Те + U (г, д)]ф" (г, q) = Vn (q)ср" (г, g); (1.2а)
ITN + Vn (g)]T"n (q) = EvnYvn, (1.26)
где Vn (q) - электронный терм при заданной конфигурации ядер. Энергия
движения ядер Evn зависит, таким образом, как от набора колебательных
квантовых чисел v, так и от электронного терма. В работе Борна [247], на
