Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
между стационарными состояниями (4.7), получим для суммарной мощности
всех индуцированных процессов следующее выражение:
3 3
2i 5s {пк, (О;, <?х) = - Jj 4л2еЧ7 (oj) 1 х(Ле |'2. (4.11)
3=1 3^1
Таким образом, из (4.11) следует, что если (/(^, а2 /*W) >0, то на
частотах ?2;- 0 (см. (3.20)) суммарным эффектом является
вынужденное поглощение, а если (/0), <т2/*0)) < 0, то < 0 и на частотах |
Q;- | суммарный эффект - вынужденное излучение.
Классическое рассмотрение процесса вынужденного излучения приводит в силу
формул (4.9) и (4.10), в которых необходимо выполнить соответствующие
замены, к тем же самым эффектам, что и квантовое рассмотрение.
Как уже указывалось, системы с эффектом индуцированного излучения
рассматривались в работах [212-217, 207]. Отметим, что гамильтонианы типа
(3.10) с эффектом индуцированного излучения описывают поведение
электрона, например, в цилиндрическом волноводе, помещенном во внешнее
магнитное поле Н, направленное по оси z, когда в волноводе возбуждена
волна ТН-типа достаточно большой частоты с то = 1. Аналогичными
гамильтонианами описывается поведение электрона в целом ряде других
систем волноводного типа (см. [228, 207]).
§ 5. Излучение заряженной частицы, находящейся
в периодическом, зависящем от времени внешнем поле
В этом параграфе рассмотрим излучение заряда, находящегося в периодически
изменяющемся во времени электромагнитном поле, заданном векторным
потенциалом
А (г) = [я (г) х г] / 2, А (Г + г) = А (г), (5.1)
где Н (t) = (0, 0, Н (t)} - периодическое магнитное поле, направленное по
оси г, ю0 = 2л / Т.
Гамильтониан заряда в поле (5.1)
Ж = (р - еА)2 / 2то (5.2)
можно записать в виде Ж = + р\/2т. Движение по оси
z - свободное. Гамильтониан описывающий движение в
183
плоскости х, у, имеет вид
= (Pi + Pi) + у- № + У2) + -у- (УРх - хру)
(5.3)
где рх, pv - операторы проекций импульса частицы; е, т - соответственно
ее заряд и масса. (Здесь и далее мы используем систему единиц, в которой
с = Н = 1.)
В случае произвольной зависимости векторного потенциала А от времени
переходы с излучением фотона в поле вида (5.1) рассматривались в [240].
Спектр квазиэнергий, когерентные и квазиэнергетические состояния заряда
во внешнем поле (5.1) были получены в § 8 гл. V.
Следуя [241], рассмотрим процессы излучения и поглощения фотонов зарядом
при переходах между КЭС дискретного спектра.
Гамильтониан взаимодействия заряда с полем излучения получаем из
гамильтониана Ж с помощью замены р-+ р - еА2, где А2 - векторный
потенциал поля излучения (1.8). Гамильтониан взаимодействия Ж\хл в первом
порядке по заряду в диполь-ном приближении имеет вид
частотой (c)х, вектором поляризации вха и волновым вектором кх; ток
Гамильтониан Ж± обладает в случае дискретного спектра КЭ четырьмя
интегралами движения: А (t), В (t), А4 (t), BP (t), явное выражение для
которых дается формулами (8.7) гл. V, в ко-
где ха и хь даются формулами (8.11) гл. V.
Используя явные выражения для интегралов движения, ток j можно
представить в виде (1.12). Ограничимся случаем, когда фотон излучается
параллельно плоскости х, у (т. е. e%z - 0). Такое ограничение
несущественно, так как движение по оси z свободное - в конечном выражений
для мощности излучения член, зависящий от e%z, выпадает.
где сха (схо) - операторы рождения (уничтожения) фотона с
мр __________
оЪ jnt - -
(5.5)
торых нужно заменить ? на н = - у (х -|- iy) ехр С Q dxj .
о
Интегралы A (t) и В (t) удовлетворяют условиям
A(t + Т) = е"атИ(г); B(t + Т) = eiKbTB(t), (5.6)
184
Выразим гамильтониан взаимодействия (5.4) через интегралы движения А, В,
At, В1" в виде
МО _____
ОЬ int -
= - 2 pm ^ ТЛл (°к}' ^ ^ "I" (5 • 7)
где
h(t) = (ex,, + jex*H(?); /2(*) = (ej.x + ieXv)o2(t);
t
°i(t)= [e* + (-l)J'4-Qe*]exp [(-1)'-L J Qdr] ; (5.9)
о
e%x и exv - проекции вектора поляризации e% на оси х и у.
Так как е (t) удовлетворяет условию (8.9) гл. V, a Q (t) = = ?2 (t -(-
Т), то функции Oj(t), / = 1,2, можно разложить в ряд Фурье:
сю
<т;(г)=е"*^ 2 orJ(Z)efc*H/T1 (5.10)
/= ОО
причем
т
CTj (0 =^ CTj (^) ехр [(iXj - (Оо01] dr, ш0 = -^-. (5.11)
о
Рассмотрим теперь переходы между когерентными и квази-энергетическими
состояниями системы (см. (4.12) и (8.12) гл. V) с излучением или
поглощением фотона. При рассмотрении излучения будем полагать, что
х;- Ф кы0, к = + 1, ± 2, . . .
Так как гамильтониан Ж int (5.7) имеет вид (1.7) с j вида (1.13), то
амплитуды переходов с излучением фотона при переходах между когерентными
или фоковскими состояниями находятся аналогично (1.18) и (1.24).
Найдем теперь мощность ЕР, излучаемую при дипольных спонтанных переходах
заряда из когерентного состояния | а, О в состояние | Р, f>- Пусть
излучаемый фотон имеет частоту со, вектор поляризации (считаем, что e%z =
0) и волновой вектор к. Тогда для мощности излучения ЕР (со, п, е%) в
единичный телесный угол в направлении п = 7с% / | к% | в частотном
интервале dco получим, согласно [2411, выражение
