Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
квадратичным стационарным гамильтонианом с эффективным потенциалом Ф.
Оказывается [228], что имеется класс систем, в которых существует эффект
вынужденного излучения на одной из частот. Впервые подобное усиление
внешней падающей волны при движении электрона в стационарных скрещенных
полях было рассчитано в работе [212J. Эффект вынужденного излучения
стационарными квантовыми системами рассматривался также в работах [213 -
217]. Отметим, что классические стационарные системы волноводного типа
рассматривались в [2371. Спектр излучения систем с эквидистантным
энергетическим спектром рассматривался в [238].
Рассмотрим излучение системы с гамильтонианом (3.10). Гамильтониан
взаимодействия системы с полем излучения в первом порядке по заряду
получается, как обычно, из (3.10) путем замены в (3.10) р на р - еА2, где
Л2 - векторный потенциал поля излучения вида (1.8). В дипольном
приближении fflmt запишем в виде
AjAj | пу = п; | пу.
(3.30)
(3.31)
55fmt = - e(QBАABQ),
(4.1)
180
где шестимерный вектор А выражается через векторный потенциал поля
излучения А3 как А = (А2Х, A2V, Агг, 0, 0, 0).
Следуя общей схеме § 1, запишем гамильтониан взаимодействия системы (4.1)
с полем излучения в дипольном приближении через интегралы движения Aj (t)
и Aj (t) в виде (1.7):
Жы = Atj. (4.2)
Ток j имеет вид (1.12), т. е. выражается через A (t) и Ж (t):
j = _ A (t) - A*(t), (4.3)
где матрицы Ft и ?2в даются формулами (3.23) и (3.24), а интегралы
движения А и .Ж - (3.26).
Будем рассматривать дипольные переходы между когерентными состояниями
| а; ?> и | Pi ?> с излучением фотона с частотой
сох и вектором поляризации е%. Суммировать по начальным и
усреднять по конечным состояниям будем с помощью матриц плотности pin и
pf, которые записываются в P-представлении Глаубера [94J в виде
pin = J* Pin (и) da (4"4)
и
Рг = S Pf (Р) (4.5)
где da = Ц d (Re aj) d (Im a;-).
i
Энергия SP, излучаемая в единичный телесный угол в направлении Пн (п.к -
единичный вектор, направленный вдоль к%) в частотном интервале dwx, равна
гЦ "2Ш? (*
SP (пк, сох, е%) = 2_, 3 dadP Bin (a) Pt (P) x
i=i
X exp (- I a - p I2) Qj I (x(i)ex) |2 [| a,- |2 8 (Qj - wK) + | P;-12 8
(Qj + (Ox)],
(4.6)
где вектор есть /-я строка матрицы F1% Отметим, что для 0 остается первый
член в квадратной скобке выражения
(4.6), а для Q/ <0 - второй член.
Выражения для мощности излучения при переходах между стационарными
состояниями можно получить из выражений для переходов между когерентными
состояниями, учитывая, что матричные элементы последних служат
производящими функциями для матричных элементов переходов между
стационарными состояниями. Можно непосредственно использовать (4.2) и
(4.3).
181
В случае различных частот ?2; для спонтанных переходов | л> -> | т>, где
т;- =?= nj, т.к = пк, к Ф /, имеем
SP (пк, (ох, ех) =
уД, g2Q*
= 2_,-2F"I (Х°')е) I2 M"ri, - w?,)+(wi + l)Sn/+i, m^Qj+COx)].
j=l
(4.7)
Для перехода к классическим формулам излучения выберем в качестве
начального состояния системы когерентное состояние | а0>, максимально
близко описывающее начальное классическое состояние ср0иг0. Таким
образом, положим Рт= б (а - а0), причем
ао = FiPo + F*r0, (4.8)
где Го и Ро - начальные классические координаты и импульсы. Усреднение по
конечным состояниям выполним с матрицей плотности вида Р[Л~3. Тогда
выражение для мощности (4.7) принимает вид
SP (Пн, (Ох, ех) =
= 2п I №)ek%) Р [| a°j I2 б - с°0 + (I aoj I2 + 1) б (?2j + (Ох)].
3=1
(4.9)
Для излучения на частотах ?2^ 0 из (4.9) получаем
классическое
выражение для мощности излучения (см. [228])
5s (nfc, сох, ex) = 2^ -2~ | Г | a0j |2- (4.10)
3=1
Если рассматривается излучение на частотах ?2; < 0, то классическое
выражение для мощности излучения получается из (4.10) при | aoj I2 1.
Парадокс гармонического осциллятора состоит в том, что вероятность
перехода между стационарными состояниями растет пропорционально nj (см.
[2391). Ширина же линии, возникающей при излучении волнового пакета -
когерентного состояния,- совпадает с классической (см. [228]). Таким
образом, при излучении волнового пакета - когерентного состояния -
происходит интерференционное сужение линии, которое приводит к совпадению
классического и квантового расчетов.
При рассмотрении вынужденного излучения полагаем, что волна, индуцирующая
переходы, слабая и ее можно считать квантованной плоской волной. Тогда,
чтобы получить мощность индуцированного излучения, в приведенных выше
выражениях для спонтанных переходов необходимо сделать замену (сох/2л)3->
182
-*¦ U (сох), где U (сох) - интенсивность падающего излучения на частоте
сох- Чтобы получить мощность индуцированного поглощения, нужна замена
(сох / 2л)3 -> - U (сох), а в б-функциях сох -> - сох- Интересен
суммарный эффект обоих процессов - индуцированного поглощения и
индуцированного излучения. Из приведенных выше формул, как для переходов
между когерентными состояниями (4.6), так и для разрешенных переходов
