Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
сравнивая это разложение с соотношением
-4-<ivr+i"n] У. (4.Ц)
* J (mjJ /п2!) 1
= ехр L Л...............................J _
77li, 7712=0
мы найдем амплитуду перехода Т(tm)\f71* между начальными когерентными и
конечными состояниями с заданной энергией и проекцией углового момента на
направление магнитного поля:
грпьтпг I m2\ \ I* ( t\\m* (а\т'-т*Тоо Т т1-т1(а$\ . .
= Т 77,2 U? ' 1 27
* % ^ (4.12)
rpm1m2 / т1*. \ 2 / Т|\7П1/ р\7П! 77,1/т,оо гm2-mi / (ф \
^
) 1" Tj If) Ш
где Lp (х) - полиномы JIareppa. Вычисление данной амплитуды, по существу,
является вычислением интеграла следующего вида:
ОО
К\р1"*2 со j j dx dy [a (x2 + y2)]$l2 Lsp [a (x2 + y2)] exp [a (x2 + y2)
+
-oo
+ bx+cy].
Разлагая правую часть равенства (4.10) в ряд по степеням а и р, получим
аналогичную амплитуду перехода между энергетическими состояниями и
конечными когерентными состояниями:
ль. - *>¦* 41з
*"•.- *<-<4ЛЗ>
55
Вычисление этой амплитуды сводится к нахождению интеграла того же типа. В
формулах (4.12), (4.13) величины 7^, Ту<? даются формулой (4.10), где
полагаем сперва у - б = 0, а затем а = р = = 0. Амплитуды переходов между
"полукогерентными" состояниями могут быть вычислены тем же способом.
Представляет большой интерес вычисление амплитуд переходов между
состояниями с фиксированными энергиями и проекциями углового момента на
направление магнитного поля. Их можно получить, разлагая, например,
амплитуду перехода Г^7"2 в ряд по степеням переменных аир. Для этого
можно воспользоваться формулами дифференцирования полиномов Лагерра [88].
В результате получаем для разных случаев следующие выражения:
а) п2 ;> nv т-г nt, i = 1, 2;
П5Г - Г'(-1)"'"' (-Ч'Ч'Г' (WW-"- X
\ n2\ mj. I tmi Tl
Г|Л
); (4.14)
x(l-
6) m2 !> nlt mt < nt, i = l, 2; rpmim? /^2* ^ (?*) 1 (Д*)
' 1 пОч-mi, 112-ni) 11 9 Д2 \ //. \ ri\
Здесь P(n' - полиномы Якоби, а сохранение проекции мо-мента количества
движения на направление магнитного поля Lz приводит к условию п2 - п1 =
тг - тг, что учитывается в формулах (4.14) и (4.15). Эти формулы
относятся к случаю положительной проекции момента Lz >. 0. В случае
отрицательной проекции момента можно получить те же самые формулы (4.14)
и
(4.15), но с заменой индексов 1 2. Для вероятностей переходов
соотношение (4.14) дает следующее выражение:
W(tm)'(tm)2 =¦ 2Ц2Ц- Rmi~ni (1 - Д)"-П'+11 р((tm)'-п" I*, (4.16)
771J! ^2'
где R = | ц/| | 2 < 1 (через параметры 0 и б параметр R выражает-1 1
ся так: R = sin2 у0 = th2 у б. Случай б) описывается той же формулой
(4.16), если в ней сделать замены пг дД тнг.
Обсудим полученные формулы для вероятностей переходов
(4.16). Мы получили величины W(tm)(tm)1, выраженные через вероятность перехода
вакуум - вакуум | 0, 0; in> -> | О, 0; f>:
= 1 - R. Полученные соотношения обладают определенными свойствами
симметрии: W(tm)2(tm)2 = W(tm)TLL (что означает
независимость вероятностей перехода от знака Lz), а также Wni(tm)' = Wmmi•
Этот факт отражает независимость параметра R от изменения знака времени,
поскольку величина R может трактоваться как коэффициент отражения от
одномерного эф-
56
фективного потенциала, определяемого функцией Q (t). (Такая трактовка при
рассмотрении одномерного осциллятора использовалась в работах [72, 91,
92].) Причем несущественно, что поле Н (t) и потенциал ср (t) не
удовлетворяют равенствам Н (t) = = Н(- t) и ф (() = ф(-t). Если принять
такую трактовку, то, как известно, коэффициент отражения R для волны,
падающей на барьер справа, будет равен коэффициенту при падении на барьер
слева, даже если барьер несимметричен. Действительно, уравнение ё + Q2
(t)e = 0 аналогично одномерному уравнению Шредингера, если заменить время
t координатой х и функцию (0 функцией к2(х). Тогда, принимая во внимание
уравнения
(3.8) и (4.8), найдем, что величина определяет амплитуду
отраженной волны. Соответствующий эффективный потенциал U (х)
определяется функцией Q(tf):
Q2 (х) = Й2П + 2М IU (-оо) - U (ж)].
Здесь массу рассеиваемой частицы мы также взяли равной М, чтобы избежать
новых обозначений. Поскольку величина Q2 (t) может быть как
положительной, так и отрицательной, то для энергии рассеиваемой частицы
имеем
Е = flfn/2М + U (-оо) a* U(x),
что необходимо принимать во внимание при расчете коэффициента отражения
R. Эта простая аналогия позволяет нам использовать для расчета R (или Woo
= 1 - Щ методы, хорошо разработанные в квантовой механике.
Можно рассмотреть некоторые примеры и предельные случаи полученных точных
формул. В случае Q2 0 можно взять точно решаемый потенциал Экарта, для
которого коэффициент отражения R имеет вид
R - (ch [л/ (coin - cof)] + cos (л2 - 8Mn2l2B)1/2} X
X (ch [л/ (coin + cot)] + cos (л2 - 8Мл2/25)"/2}-1.
Здесь величины В ж I являются параметрами, определяющими потенциал. В
случае барьера U (х) = UJсЬ2аж и й2 < 0 мы имеем
R = cos2 [i-л (1 - 8MU0/a2Y!*] (sh2 (ncoin/2a) +
+ cos2 [1л (1 - 8MUJa2)4AY1\ 8MU0 < a2.
Адиабатическое приближение (W^C*^ 1) справедливо, если R 1 и n{n2R 1.
