Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 20

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 123 >> Следующая

самой малой воз-
52
можной неопределенностью, отвечающей принципу неопределенности
Гейзенберга. В то же время координаты относительного движения уже не
отвечают в данном состоянии этому условию минимальности. Максимальная
классичность в этом смысле квантового состояния имеет место только для
состояния | а, (3; in)>, которое когерентно по отношению сразу к двум
операторам:
А[п и В1П- Точно так же волновые пакеты | а, (3; t)> описывают
в рамках строго квантового подхода максимально классические состояния
заряженной частицы в аксиально-симметричном, зависящем произвольным
образом от времени электромагнитном поле. Разумеется, в этом случае
координаты х и у совершают более сложное движение, уже не являющееся
гармоническим.
§ 4. Амплитуды переходов между уровнями Ландау
Предположим теперь, что электромагнитное поле постоянно в далеком прошлом
и становится постоянным в далеком будущем. Предположим, таким образом,
следующее:
Н (0 = Нт\ Ф (0 =0; t< 0;
Н (0 = Ф (0 = 0; f -* + оо. (4Л)
При этих условиях, когда t -*¦ +оо, существуют начальные и конечные
когерентные состояния, а также энергетические уровни Ландау. Можно
поставить задачу о нахождении вероятностей переходов между этими
состояниями или, что то же самое, о параметрическом возбуждении
рассматриваемой системы с помощью переменного однородного магнитного
поля. Амплитуда перехода, связывающая начальное | in> и конечное | f>
состояния, дается матричным элементом (1.18). Выше уже было выбрано
решение дополнительных классических уравнений (3.4) при больших
отрицательных временах t -> -оо (см. соотношение (3.8)). Причина такого
выбора состоит в том, чтобы удовлетворить условию [А (-оо), - 0. В
таком случае в пределе t -*¦ -оо
собственные состояния операторов К и Lz совпали бы с решениями Ландау для
постоянного магнитного поля Н-т, а когерентные состояния | а, Р; t -> -
оо> совпали бы с начальными когерентными состояниями | а, Р; in>. В
пределе t-v+оо зависимость от времени Q (t) приводит к более общему
решению уравнения (3.4) и, вообще говоря, [А (+оо), ф 0, а состояния
I п\,пг, +°°!> и | ct, р; +о°> не совпадают с соответствующими конечными
состояниями, но, естественно, могут быть по ним разложены в ряды и
интегралы соответственно.
Определим конечные операторы if и 5( следующим образом:
At = (2Мсо{)~'/г ехр [i (со,t + ф0)1 \рх + ipv + 112Маt (у - ix)Y,
В{ ¦-= (2Mwt)~'h е~щ° [py + ipx + Va Ма( (x - iy)]. (4-2)
53
Здесь фаза ср0 определена равенством
ОО
ф° = -у 5 [м (t) - fflf] dt. о
Это определение конечных операторов А[ и В[ отличается от
соответствующего определения начальных операторов А1а и Bia (см. (3.9))
на фазовый множитель ехр (+HPo)- Конечные состояния (относящиеся к
постоянному полю Н{) даются следующими формулами. Конечные когерентные
состояния | у, б; f>:
| у, б; f> = (Мсо,/2л)1/2ехр(- V2 [?cof^ + V2 МмД* + | у |2 + |б|2] +
+ (V2 М(о{)Чг [б?е*фо + iy?* ехр [ - i (со{t + tp0)]] - iy6e_,"ft}; (4.3)
конечные состояния | т2; с фиксированными энергией и
проекцией углового момента на магнитное поле:
| ти т2, f> = (- 1)р i
Р
р\ Ма>(/2п

ехр [i(m2 - тпi) (ф + ф0) -
(р + | тп1- >пг |)
- V4 Mcofp2 - i (m, + Va) со(V* Моу>2)|т'-тг|/2 4"1 (V2 Mcofp2),
(4.4)
где p = 1l2(m1 + m2 - \тп1 - m2 |), а угол ф и величина р - полярные
координаты двумерного вектора на плоскости х, у.
Интегралы движения А и 5^могут быть выражены через конечные операторы
(4.2) следующим образом:
А (оо) = lAt + r)Bt; В (оо) = цА{ + 1Ви (4.5)
где комплексные величины | и ц являются пределами при больших временах <
-оо двух функций ? (t) и ц (t):
I (0 = !(2#f)_1/2 (у Нъ - 1 т (r)) ex р [ i (ф0 - у 5 И (Т) d г)
(4.6а)
с
ц (t) = (2Н{)~1'г (у Ше - у ej ехр i (cp0 со (т) . (4.66)
о
Коммутационные соотношения между операторами А и В (3.7) приводят к
условию
|ЕГ- Ы2 = 1, (4.7)
которое, как легко проверить, удовлетворяется функциями (4.6). Общее
решение уравнения (3.4) при больших временах t можно записать следующим
образом:
et = (2/#f)V*?exp О/а i(r)tt) - i (2/Hty!n\ exp (-1/г (4.8)
54
Поскольку решения волнового уравнения выражаются через функцию е (t), все
амплитуды переходов в этой задаче полностью определены параметрами | и ц.
Можно также использовать компактный (0) и некомпактный (б) параметры:
cos 0 = 1-2 | п/g |2; ch б = | g |2 + | ц |2. (4.9)
Рассчитаем сначала амплитуды переходов между когерентными состояниями |
а, (1; in> и | у, б; f>. Вычисление этих амплитуд сводится к вычислению
двукратного интеграла от экспоненты, показателем которой является
квадратичная по переменным х и у форма. Ответ может быть представлен в
следующем виде:
Tlр = <у, б; f | а, Р; t -> оо> =
= Г1 ехр [- Va (| а |2 + | р |2 + | у Г + | б Г) +
+ Е-1 (офц* + |3б* + ау* - т]у*б*)]. (4.10)
Из определения когерентных состояний следует, что амплитуда перехода
задает производящую функцию для всех остальных амплитуд. Например,
разлагая правую часть равенства (4.10) в ряд по степеням у* и б* и
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed