Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
производящей функцией для состояний ( n1, п2; ty, для которых можно
получить явное выражение, разлагая их в ряд по степеням комплексного
числа р, что дает тот же ответ, что и дифференцирование по переменным аир
когерентного состояния | а, Р; ty. Имеем в результате следующее
выражение:
. -Hi/ мр Г р!ея-1 1Чг / е p2\lni-nH/2
п-i, п2, ty - I (-1)р ,п4_,п ^ (rfp) X
X ехр
. м&
1 ~2е
Лр + I Л1 + л2 DL 7 р2 + i (п2 - Hi) ф - шгу+ - in2y_
п1
4П'~П21 (Й) , (3.21)
где целое число р = (п1 + п2 - | п1 - п2 |)/2; ф и р - полярные
координаты частицы, а Ьр (х) - полиномы Лагерра.
Когерентные состояния (3.16) образуют полную систему функций.
Действительно, можно проверить, что
V"
' ^ d2a d2P | е | 2 ехр [ - \ а |2 - | р |2 + i ~ Ы* +
X
X (P?1e-iv- + - iaX
X (P*?* eiv- - ia*t,2eiv+ + ia* p V (v++v-)) j = б (ац- x2) б (уг - y2).
(3.22)
Поэтому для произвольного состояния | fy с волновой функцией 'Vf (х, у)
мы имеем следующее разложение:
I/> = л~2 ^ d2ad2 P|a, Р; ty / (a*, р*) ехр(| а |2 + [Р|2) . (3.23)
50
Здесь коэффициенты разложения/ (а*, р*) определяются формулой
оо
/ (а*, р*) = ^ dx dy Tf (х, у) h (е*)-1 х
•-ОО
хехр[- + p*^Vv-га^е^+га^р*^^^) .
Для состояния | пг, п2, ty имеем следующее разложение по когерентным
состояниям:
I . -2 С .72 .720 1 о. , ч (а*)"1 (В*)'12 / | а Р + I Р
I2 \
\пи п2, О = л 2 \ d2ad2p I а, р, ty -\ \ . - ехр - о
•
t) (тгр гг2!) '2 ' о t
(3.24)
Это разложение является обращением разложения (3.10).
Используя явный вид когерентных состояний | а, Р; ty, можно найти явное
выражение для функции Грина уравнения Шредингера, описывающего движение
заряженной частицы в переменном электромагнитном поле. Соответствующая
формула такова:
G (х2, у2, t2] хъ т/i, h) =
_ 'Р?'Г ехр ЬГ" (л* _ л;+
le^lsm? ^ 4е у df2 ldt\)
+ ~2 (-Ri - -R2)2 ctg у -|- [J?i Х-ВгЬ j j • (3.25)
и
Здесь у = ^ | е (т) |~2 dr, R{ = pjq- (х? + т/?)1/!, а фаза
двумер-
^1
ного вектора определяется из соотношения
ФД{ = arctg (y./xj - у_ (ti), i = l,2.
Эта функция Грина является обобщением функции Грина для уравнения
Шредингера, описывающего движение заряда в постоянном магнитном поле,
полученной в работе Зондхаймера и Вильсона [90].
Функция Грина в координатном представлении (3.25) получена тем же
способом, что и функция Грина осциллятора с переменными частотами. Знание
когерентного состояния в явном виде (3.16) позволяет, вычисляя интеграл
лГ2 Jd2аг d2а2 <х2, у2; t2 \ аг, а2> (ага2 | хг, уг; ^>,
получить искомое выражение. Таким образом, задача сводится к взятию
известного гауссовского многомерного интеграла, часто используемого в
дальнейшем (см. [88]):
ОО
^ ... ^ ехр (-хах + bx)dx= [(2^)^ det а"1]'11 еЬа~1Ь!'2. (3.26)
"-09
51
N
Здесь хах есть х^а^х^; матрица а такова, что интеграл i, fc=l
сходится.
Соотношение (3.10) показывает, что в когерентном состоянии | а, Р; ty
распределение по квантовым числам п1 и п2 является распределением
Пуассона
| <а, р; 11п1у п3; О |2 = |а[ ^ ехр (- |а|3 - | р |3).
Чтобы выяснить физический смысл когерентного состояния | а, Р; ty,
рассмотрим, как и для осциллятора, предельный случал при t -*¦ - оо. В
таком пределе, если выбрать е согласно формулам (3.8), это когерентное
состояние совпадает с начальным когерентным состоянием | а, Р; in) для
заряженной частицы в постоянном магнитном поле Нщ. Состояние | а, Рt -
оо) = = | а, Р; in) содержит зависимость от времени и подчиняется
уравнению Шредингера id'V/dt = Ж*?- Начальное когерентное состояние, как
легко показать, имеет вид
I а, Р; in) = (Мсо1п/2л)1/2 ехр [- Va miat - lU МазщЩ* - Va |а|3 -
- Va | Р |2 + (Va Мщп)'1' (Р? + ia^e^) - (3.27)
С точностью до постоянного множителя интеграл движения К (-оо) совпадает
с начальным гамильтонианом Жщ-
Ж\п = WinTiL (- оо) = coin (A-iaAia */2)1 (3.28)
где оператор А1п дается формулой (3.9). Таким образом, собственные
состояния | пг, п2; in) совпадают с хорошо известными собственными
состояниями операторов энергии и проекции углового момента на магнитное
поле Lz для заряженной частицы, движущейся в постоянном и однородном
магнитном поле. В классическом случае эта частица движется в плоскости х,
у по окружности с центром в точке (х0, у0). Поскольку | а, Р; in) есть
собственное состояние операторов А\а и В1а (см. уравнения (3.13)), ясно,
что ожидаемые значения операторов координат относительного движения, а
именно величин х - х0 и у - у0, совершают гармоническое колебание с
амплитудой | а\ (2/Мсо^)1/2. Координаты центра орбиты связаны с числом р.
Эти координаты по осям абсцисс и ординат равны (2/Mco111)1/!Re р и (-
2/Mcoin)1/2 Im р соответственно. Таким образом, когерентные состояния |
а, Р; in) являются максимально классическими состояниями для заряженной
частицы, движущейся в постоянном однородном магнитном поле Hia.
"Полукогерентные" состояния | nL, Р; in) являются наилучшим классическим
приближением к стационарному состоянию с фиксированной энергией. В этих
состояниях координаты центра орбиты волнового пакета х0 и у0 заданы с
