Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Операторы (3.3) коммутируют с оператором id/dt - Ж', следовательно, dAldt
= dB/dt = 0. Чтобы получить не зависящие от времени коммутационные
соотношения операторов А, А^ и В, В1, выберем специальпое решение
уравнения (3.4):
Уравнение (3.4) сводится в этом случае к нелинейному уравнению (1.5)
[71]:
[А, АП = [В, ВЦ =е!\е\- [А,В]=[А,ВЦ = 0. (3.7)
Для частиц с противоположными знаками повышающие и понижающие операторы
А, В и А*, В1 меняются местами. Для простоты считаем е 0.
В работе [89] был найден один самосопряженный квадратичный интеграл
движения, который можно выразить через найденные инварианты (3.3)
следующим образом:
Вследствие аксиальной симметрии рассматриваемого электромагнитного
потенциала, проекция углового момента на направление магнитного поля
также является интегралом движения и ее можно
в (*) = (r) (ру+ -iM'B (*) (х - ехР Т $ " (т)dx ¦
е + Q2 (t) е = 0; Q2 (г) =• ^ со2 (*) + X (0- (3-4)
(3.5)
^1 + ^(0|е|-(^-)2|еГ = 0. (3.6)
Имеют место следующие коммутационные соотношения:
К (t) = А* № (t) + Чг.
47
выразить через найденные интегралы движения А и В следующим образом:
Lz = В*В - А<А.
Чтобы выяснить физический смысл интегралов движения А и В в
рассматриваемой задаче, исследуем их пределы (при t -*¦ - оо) для
построенного магнитного поля. Здесь предполагается, что Н (t) = ffin и ф
(() = О, если t < О, так что Q (t) = = со1п/2. В пределе t -*- - оо
выбираем в качестве решения уравнения (3.4) следующее выражение:
е (- оо) •= ) 'ехр (у сощ^ ; е (- оо) = у coine (- оо). (3.8)
Причина такого выбора будет объяснена ниже. При начальных условиях (3.8)
предел интегралов движения (3.3) при t-*¦ - оо дается следующими
формулами:
Ain -= 0/2 Маца)ч' [у - у0 - i (х - х0)1 ехр (iaW)i
Bin ----- 0/г Мщп)Чг (х0 - iy0),
где операторы х0 = х/2 + pvIMcom,' у0 = у/2 - pJMcoin - хорошо известные
[53] координаты центра орбиты частицы, движущейся в постоянном магнитном
поле.
Из соотношений (3.9) ясно, что собственные значения инварианта Вт
определяют координаты центра орбиты в плоскости х,у, а собственные
значения оператора Hjnexp(i coini) задают текущие координаты центра
волнового пакета. Следовательно, сам интеграл движения iin связан с
координатами начальной точки движения относительно заданного центра
орбиты. Для классического движения существует четыре независимых
интеграла движения в соответствии с четырьмя степенями свободы (движение
в плоскости х, у), и то же самое имеет место и в квантовом случае.
Тем же способом, которым были введены когерентные состояния в предыдущих
параграфах для ./V-мерного осциллятора с зависящими от времени частотами,
можно ввести когерентные состояния для заряженной частицы, движущейся в
зависящем от времени электромагнитном поле, определенном вектор-
потенциалом (3.1). В этом случае имеется два понижающих оператора А (t) и
В (t) и когерентные состояния задаются двумя числами а и Р:
| а, р, О = ехр (- -ЦЛ - iii) ^ (ЗЛ0)
П1, п2-0 1- 2-'
где аир - постоянные комплексные числа. Здесь состояния
К! Пъ\)4
|п1; п2ш, ty = {A ),\{tr |0, 0; О (3.11)
48
являются решениями уравнения Шредингера (idldt - Ж)^ = О и в то же время
являются собственными состояниями интегралов движения К (t) и Lz:
К | nltn2; t> = + у) | nlyn2- t>\ ^
Lz | н1,н2, t'y = (и2 | и1?и2; ty.
Когерентные состояния (3.10) суть собственные состояния зависящих от
времени инвариантов A (t) и В (t):
А (t) | а,Р; t} = а | а,Р; <>; В (t) | а,Р; ty - р | а,Р; ty.
(3.13)
Физический смысл собственных значений аир обсуждался выше. Имеются два
унитарных оператора сдвига:
D (а) = ехр (а- а*А), (а)AD (а) = А + а;
D (р) = ехр (рЖ - р*В), D-1 (р)BD (р) = В + р, (ЗЛ4)
которые коммутируют друг с другом: [D (а), D (Р)] = 0. Явный вид
когерентных состояний | а, р, ty можно найти, действуя на вакуумное
состояние
1°, 0; О = (-?-) ' e_1exp(i-^-^*) (? = x + iy) (3.15)
операторами (3.14):
| а, р; О = D (а) D (р) 10, 0; 0 =
= (^) Л e_1 ехр U 4^- К*) ехр _ i/2 (| а |2 + | Р |2) +
+ е1/г | е | (P?e-iv- + 1а?*е-^+) - гсфе-* (v++v-)], (3.16)
где фазы у+ определяются следующими формулами:
t
Y± W = ж S [16 I"2 ± н dx-
Собственные состояния | nlt n2; ty операторов К и Lz ортонор-мированы:
оо
К
dxdy lF",n, (х, у, t) Т
77117712 У" 0 -
Имеет место следующее соотношение:
Таким образом, когерентные состояния (3.16) ортонормированы, но не
ортогональны. Можно ввести когерентные состояния по отношению к одному из
операторов А или В.
Рассмотрим собственные состояния инвариантов К и В:
К Ии Р; t} = (пг + Va) I nv Р; ty; В \ nv Р; /> = р | пг, р; ty.
(3,18)
Легко проверить, что функции | nv Р; ty - D (Р) | nv 0; ty, явное
выражение для которых имеет вид
I"ъ Р; ty
Z,* - Pe-iv-
X
X
ехр (г ^ + fij -tn^+-4" I р i2) ' (3-19)
подчиняются условиям (3.18), а их скалярное произведение
имеет вид
<Щ, р; 11 т,, р'; ty = бП11й1 ехр [р*р' - \ (| р |2 + | р' |2)]. (3.20)
Когерентные состояния | а; п2; ty можно построить таким же способом: | а,
п2; ty = D (а) | 0, п2; ty. Когерентные состояния (3.19) являются
