Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 116

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 123 >> Следующая

О (ге, С) и Sp (2ге, С) порождают четыре серии простых алгебр Ли,
свойства которых подробно изложены в [1-7, 9, 10, 15].
A) Простые алгебры Ап. Классической группе SL (ге, С) - группе
комплексных квадратных матриц g размером re X ге с det g = 1 - отвечает
простая комплексная алгебра Ли, обозначаемая An-1, ге ^ 2.
Алгебра Ли Ап - это совокупность всех комплексных матриц х размером re X
ге, след которых равен нулю: Тг х = 0.
Форма Киллинга - Картана В (х, у), х, у е Ап_ъ для Ап_г задается формулой
В (х, у) = 2ге Тг ху. Максимальной компактной подгруппе SU (ге) (и^и = Е,
det и = 1) группы SL (ге, С) отвечает компактная подалгебра алгебры Ли
Ап_,, состоящая из всех косоэрмитовых матриц х размером re X ге,
удовлетворяющих условию хм = -х. Алгебра Ли косоэрмитовых матриц образует
вещественную подалгебру алгебры Ли Ап_Форма Киллинга - Картана В (х, х) =
2ге Тг (хх) для элементов х = -отрицательно определена. Картановская
подалгебра алгебры Ли А1,_1 состоит из всех диагональных матриц, след
которых равен нулю.
Б) Простые алгебры Вп. Классической группе О (2ге + 1, С) - группе
комплексных ортогональных матриц g, gg - Е, размером (2ге + 1) X X (2ге +
1) - отвечает простая комплексная алгебра Ли, обозначаемая Вп, га ^ 1.
Алгебра Ли Вп - это совокупность всех комплексных кососимметричных матриц
х размером (2ге + 1) X (2ге -]- 1), удовлетворяющих условию Я = -х.
B) Простые алгебры Сп. Классической группе Sp (2ге, С) - группе
комплексных симплектических матриц g размером 2ге, таких, что gjg = /,
мая Сп, re ^ 1.
Алгебра Ли Сп - это совокупность всех комплексных матриц х размером 2ге X
2ге, удовлетворяющих условию х = JxJ. Если матрицу х представить
= -x1t а х2, х3 - симметричные матрицы: х2 = х2, х3 = х3.
Г) Простые алгебры Dn. Классической группе О (2ге, С) - группе
комплексных ортогональных матриц размером 2ге X 2ге - отвечает простая
комплексная алгебра Ли, обозначаемая Dn, ге > 2.
Алгебра Ли Dn - это совокупность всех комплексных кососимметричных матриц
х размером 2п X 2ге, удовлетворяющих условию Я = -х.
Кроме перечисленных выше четырех бесконечных серий Ап, Вп, Сп, Dn простых
комплексных алгебр Ли, существует пять особых простых комплексных алгебр
Ли, обозначаемых G2, Ft, Еа, Е7, Е3. Конструкция и свойства особых алгебр
подробно изложены в [6]. Наряду с классификацией комплексных простых
алгебр Ли, имеется классификация всех вещественных простых алгебр Ли (см.
[6, 7, 10, 15]).
простая комплексная алгебра Ли, обозначав-
Ij (r)2\
J, где х\ - комплексные матрицы п X п, то =
,*3 ^4/
307
45. Псевдоортогонадьная группа О (р, q) и ее алгебра Ли. Вещественные
матрицы || gjj; I размером (р + 5) х (р + д), удовлетворяющие условию
единичные матрицы размером р х р и q X 9 соответственно), образуют
группу, которая обозначается 0(р, q). Группа матриц О (р, q) сохраняет
квадратичную форму (ж, ж) = я(r) + . . . + х? - (а?+1 + . . . + х*,Q) в (р
-|- ^-мерном линейном пространстве.
Алгебра Ли X группы О (р, q) состоит из вещественных матриц х,
удовлетворяющих условию х = -Ipqxlpq. Если х е X записать в виде блочной
летворяют соотношениям Х1 = - xL, х2 = х3, г4 = -.г,.
Алгебра Ли группы О (р, q) является простой вещественной алгеброй Ли.
46. Симплектическая группа Sp (2п, R) и ее алгебра Ли. Вещественной
симплектической группой Sp (2га, R) называется группа вещественных
квадратных матриц размером 2га X 2га, удовлетворяющих условию gJg - J,
ца размером га X га. Алгебра Ли X вещественной симплектической группы Sp
(2га, В) состоит из вещественных симплектических матриц х размером 2га X
2га, удовлетворяющих условию х = JxJ. Если х е X представить
венные матрицы размером га X га, то xL - - х4, х2 = х2, хх = хл. Алгебра
Ли группы Sp (2га, В) является простой вещественной алгеброй Ли.
47. Инфинитезимальный оператор. Пусть g -" Тg - представление группы G и
g (г) - однопараметрическая подгруппа в G, порожденная касательной
матрицей х g (c) алгебры Ли линейной группы Ли G, g (г) =
d
- ехр (Сх). Определим инфинитезимальный оператор Тх - dt Т№ t=o '
отвечающий элементу х е (c). Так как Тg является представлением группы G,
то можно показать, что соответствие х -" Тх является представлением
алгебры Ли (c) группы G. Соответствие между представлением Тg группы Ли G и
ее представлением Тх алгебры Ли (c) таково, что для однопараметрической
подгруппы g (t) группы G, порожденной касательной матрицей х €= (c), g (г)
= ехр (tx), имеет место равенство Tg(t) = ехр (tTx).
48. Представление AdG и его связь с представлением ad@. Пусть G - группа
Ли и (c) - ее алгебра Ли. Рассмотрим присоединенное представление AdG
группы G: Ad g (у) = gyg'1 для всех g ? G и у ? @. Легко установить
й
тождество -jj- Ad g (t) [у] |f=0 = [x, y\ - ad x [у], где g (t)= exp
(tx), x, у e (c).
Используя это тождество, можно показать, что присоединенному
представлению AdG группы G соответствует присоединенное представление ее
алгебры Ли.
glpqg = Ipq (где Ipq - блочная матрица вида
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed