Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(29)
304:
'Hi а. и b - векторы-столбцы с вещественными координатами а - {flj}, О ==
i=l, . . N; z - вещественное число, EN - единичная матрица размером N X
N. Группа Н (N) зависит от 2N + 1 .параметра. Элементы вида h (0, 0, z)
при а = b = 0 образуют центр группы Н (N).
III. Алгебры Ли линейных групп Ли
37. Касательная матрица. Пусть G - линейная группа Ля и g (г) - гладкая
крпвая g (г) €= G, проходящая через единицу группы G, g (0) = е.
dg
Матрпца х - -гг называется касательной .матрицей к кривой g (/)
dt /=о
в точке е.
38. Касательное пространство. Совокупность всех касательных матриц в
точке е ? 6 ко всем гладким кривым g (г) в группе G образует векторное
пространство, которое будем называть касательным пространством группы G в
точке е и обозначать @.
Можно показать, что если х - касательная матрица, принадлежащая
касательному пространству (c) группы G, то гладкая кривая ?(t)=exp (xt), -
оо I оо, является однопараметрической подгруппой группы G.
Пусть gx (г) и g2 (г) - однопарамстрические подгруппы группы G,
порожденные касательными матрицами xlt х2 ?: @, gi(t) = ехр {x t). Тогда
легко проверить, что
1) кривой g (г) = gi{t)gz (г) соответствует касательная матрица
dg
dt
(=о - Xl х2'
2) кривой g (г) = giiVt) g2{V 1) gi {-Vt) g2 {~УЪ соответствует
касательная матрица
dg
dt
l_0 - xlx2 X2X1 >
3) кривой g (г) = exp Qrxyt), к - вещественное или комплексное число,
соответствует касательная матрица
X . . = 'Kxi,
dt (=о 1
4) кривой g (г) = gecx.p{x1l) g~x, ?0 е G, соответствует касательная
матрица
dg х~ dt
"= So xgn1
t=0 60 •
39. Алгебра Ли линейной группы Ли. Свойства 1)-3) п. 38 показывают, что
если в касательном пространстве (c) линейной р-мерной группы Ли G
определить операцию коммутирования двух касательных матриц xlt х2 е (c)
согласно [хг, х2] = хгх2 - х2хг, то (c) будет являться алгеброй Ли, которая
называется алгеброй Ли группы Ли G.
Следует отметить, что соответствие между группой Ли G и ее алгеброй Ли
таково, что
305
A) если II - подгруппа Ли *) группы Ли G, a jp и (c) - соответствующие им
алгебры Ли, то Sp является подалгеброй алгебры Ли (c);
Б) если II - инвариантная подгруппа Ли группы Ли G, a jj> и (c) -
соответствующие им алгебры Ли, то $р является идеалом алгебры Ли (c);
B) если II - компактная подгруппа Ли группы Ли G, a Sp и (c) -
соответствующие пм алгебры Ли, то подалгебра Sp алгебры (c) является
компактной.
40. Простая группа Ли. Группа Ли G называется простой, если
соответствующая ей алгебра Ли (c) простая.
41. Подгруппа Картана. Подгруппа Лн II простой группы Ли G называется
картановской, если подалгебра Ли Sp подгруппы Н является картановской
подалгеброй в алгебре Ли (c) группы G.
42. Присоединенное представление AdG. Пусть G - линейная группа Лн н (c) -
ее алгебра Ли. В алгебре Ли @, рассматриваемой как векторное
пространство, определим линейный оператор Ad g, g е G, следующим образом:
каждой касательной матрице х е (c) и произвольному элементу g е G поставим
в соответствие касательную матрицу gxg-1 (см. свойство 4) и. 38), т.' е.
Ad g (х) = gxg-1 (30)
для всех же(r). Легко проверить, что соответствие g Ad g задает
представление группы С в ее алгебре Ли @, рассматриваемой как векторное
пространство, которое называется присоединенным представлением группы G.
Очевидно, что элементам центра Z (G) группы G в присоединенном
представлении соответствует единичный оператор.
43. Алгебра Ли полной линейной группы. Совокупность всех квадратных
комплексных матриц размером п х п, с определенными в ней правилами
матричного сложения и умножения матрицы на комплексное число, образует
комплексное векторное пространство размерности ге2. Это векторное
пространство, снабженное операцией умножения матриц, называется полной
матричной алгеброй и обозначается М (ге, С).
Легко показать, что для всех х е М (ге, С) матрица
ехр (х) =Е f ж -f -|j-+ . . . б- + . . . (31)
не вырождена, так как имеет место тождество det (ехр (х)) = ехр (Тг х),
где Тг обозначает след матрицы: Тг z = Справедливо обратное ут-
г
верждение: любая комплексная невырожденная матрица g = || g-l}i ||,
det g ф 0, допускает представление в виде g = ехр х, где х е М (ге, С).
Однопараметрическпе подгруппы GL (к, С) порождаются элементами х ?= М
(ге, С), g (г) = ехр (tx).
Совокупность всех квадратных комплексных матриц х размером п X ге
превращается в алгебру Ли, если в М (ге, С) определить операцию
коммутирования двух матриц х.у, х2 обычным образом: [ху, х2] = хгх2 -
х.,Ху. Легко проверить, что все условия, входящие в определение алгебры
Ли, выполнены. Таким образом, полная матричная алгебра М (ге, С) является
алгеброй Ли группы GL (ге, С).
*) Подгруппа Н группы Ли G, являющаяся в свою очередь группой Ли,
называется подгруппой Ли группы G.
306
Аналогичным образом, алгеброй Ли вещественной группы GL (re, R) является
вещественная полная матричная алгебра М (re, R).
44. Простые алгебры Ли Ап, Вп, Сп, Лп. Классические группы SL (ге, С),
