Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
га.
Совокупность всех вещественных невырожденных квадратных матриц размером
re X ге образует группу, которая называется вещественной линейной группой
и обозначается GL (re, R).
30. Линейные алгебраические группы. Группа G называется комплексной
линейной алгебраической группой (соответственно, вещественной), если она
является подгруппой некоторой полной линейной группы GL (ге, С)
(соответственно, вещественной GL (га, R)) ы элементы g = || g^ || ЕЕ G
удовлетворяют системе алгебраических уравнений|
Ш = 0, (gik) = 0, • ¦ ., .5°Р (gik) = 0, (27)
где ,^Pj (g-lk) - полиномы.
Оказывается, что подавляющее большинство групп, возникающих в различных
физических задачах, являются линейными алгебраическими группами. В свою
очередь линейные алгебраические группы являются важнейшими
представителями более общего класса непрерывных групп, так называемых
групп Ли. Различные аспекты теории абстрактных групп Ли изложены в
монографиях [1 - 7].
31. Линейная группа Ли. Группа G называется р-мернпй линейной группой Ли,
если выполнены следующие условия:
1) Группа G является подгруппой группы GL (re, R).
2) Существует окрестность U единичной матрицы Е в линейном пространстве М
(re, R) всех квадратных матриц размером re X ге такая, что для S = II
giis II е G, у е Г, матричные элементы g\^ являются непрерывно
дифференцируемыми функциями g;jj = gjjf (их, u2, . . ., up) p
вещественных параметров us, s - 1, 2, . . ., p, | us | u0.
3) Ранг якобиевой матрицы || dg^/dus ||, имеющей ге2 строк и р столбцов,
равен р при всех | tts ! <С "о-
Можно показать, что линейная алгебраическая группа является линейной
группой Ли. Линейные группы Ли являются важнейшими представителями
абстрактных групп Ли.
Существенную роль в теории групп Ли играют одномерные подгруппы Ли, так
называемые однопараметрцческие подгруппы.
32. Однопараметрическая подгруппа. Гладкая кривая g (г) eS, - оо< < ( <
оо, в группе G, проходящая через единицу g (0) = е, называется
однопараметрической подгруппой, если для любых вещественных параметров
4Х, г2 имеет место равенство
g (h) 8 (**) = 8 ih + Q. (28)
33. Компактная группа Ли. Линейная группа Ли G называется компактной
группой, если множество ее элементов ? = ||&к||, f eG, i, k~ 1,2, . . .,
re, является ограниченным и замкнутым подмножеством в линейном
303
пространстве М (п, R) всех квадратных матриц размером ге X ге.
Ограниченность подмножества G в М (ге, 11) означает, что матричные
элементы giii равномерно ограничены, т, е. существует число К > 0 такое,
что для всех 8 = II 8iu II s б | gib | < К при i, к = 1, 2, . . ., ге.
Замкнутость означает, что предел любой сходящейся последовательности
матриц gp, принадлежащих G, gp е G, тоже принадлежит группе G:
Важнейшим примером компактной линейной группы Ли служит унитарная группа
U (л).
34. Унитарная группа U (п). Группа обратимых линейных преобразований
линейного комплексного векторного пространства V, сохраняющих
невырожденную положительную эрмитову квадратичную форму, называется
унитарной группой и обозначается U (п). Унитарная группа допускает
матричную реализацию. Унитарная группа U (п) - это группа всех унитарных
матриц и = || Uj j || таких, что ии^ = и^и = Е означает эрмитово
сопряжение), Е - единичная матрица, г, / = 1, 2, . . ., п.
35. Классические группы. А) Специальная линейная группа. Совокупность
всех комплексных матриц g = |] g^ |) размером п X и с определителем det g
- 1 образует группу, которая называется специальной линейной комплексной
группой и обозначается SL (п, С). Максимальной компактной подгруппой в SL
(п, С) является группа SU (п) = SL (п, С) П U (ге), т. е. подгруппа
унитарных матриц и, ии^ = Е, с определителем det и = 1.
Б) Ортогональная группа. Линейные обратимые преобразования комплексного
векторного пространства V размерности п, сохраняющие невырожденную
симметричную билинейную форму, образуют группу, которая называется
ортогональной комплексной группой и обозначается О (п, С). Ортогональная
группа О (п, С) - это совокупность ортогональных матриц g = = || gijf Ц,
таких, что gg = gg = Е, где ~ означает транспонирование. Максимальной
компактной подгруппой в группе О (п, С) является группа ортогональных
вещественных матриц О (п) = О (п, С) (~\ U (п).
В) Симплектическая группа. Линейные обратимые преобразования комплексного
векторного пространства V размерности 2п, п - 1,2, . . ., сохраняющие
невырожденную кососимметричную форму, образуют группу, которая называется
комплексной симплектической группой и обозначается Sp (2ге, С).
Симплектическая группа Sp (2п, С) - это группа матриц g - = || gijj ||
размером 2л X 2ге таких, что gJg = /, где J - блочная матрица
компактной подгруппой в группе Sp (2ге, С) является подгруппа Sp (2ге, С)
[} f) U (ге), обозначаемая Sp (2ге).
36. Группа Гейзенберга - Вейля H(N). Группа Н (N) - это группа
вещественных матриц h g Н (N) размером (N + 2) х (N + 2) вида
g = lim gp ее G.
р-+со
вида
Еп - единичная матрица п X п. Максимальной
