Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
В свою очередь образующие С2, С2, . . Ср центра являются полиномами от
генераторов ха е X:
Ci - (xai' xati • ¦ '1 хаг)'
Некоторые методы построения элементов центра универсальной обертывающей
алгебры приведены в работах [35, 36].
19. Элемент Казимира. Пусть X - простая (полунростая) алгебра Ли X; тогда
существует элемент С2, называемый элементом Казимира, принадлежащий
центру Z (U) универсальной обертывающей алгебры U (X). Элемент Казимира
легко выразить через генераторы ха и метрический тензор (14):
С2 = (20)
где - матрица, обратная матрице || gap || метрического тензора, которая
существует, так как det || || ф 0 (см. п. 12).
20. Операторы Казимира. Пусть х-> Тх, х е X,- представление алгебры Ли X;
соответствующее ему представление универсальной обертывающей алгебры U
(X) алгебры Ли X: и -> Ти, и е U (X). При этом в представлении и -> Ти,
us U {X), образующие центра Z (U) Cx, С2, . . ., Ср переходят в
операторы:
С-i = .5° (TXai, Тха2' • • '1 'Схаг)> (21)
которые называются операторами Казимира. В частности, элементу Казимира
(20) отвечает оператор Казимира С2 = fP(r)TXaTxp
Если представление алгебры Ли X неприводимо, то в силу леммы Шура,
операторы Казимира С\ кратны единичному оператору: С; = Х2Е. Собственные
значения Xi операторов Казимира С; зависят от представления Тх алгебры Ли
X.
В работе [39] дан метод нахождения этих чисел А.,-. Собственные значения
операторов Казимира вычислены в явном виде в [37] для представлений
(конечномерных и бесконечномерных) простых и полупростых алгебр Ли. Для
конечномерных представлений классических алгебр Ли собственные значения
операторов Казимира вычислены в [9, 38].
II. Линейные группы Ли
21. Группа. Множество элементов G называется группой, если для его
элементов определен закон композиции (умножения), удовлетворяющий
условиям:
1) Для любой пары элементов gx, g2 G определен третий, называемый
произведением g1 -g2, тоже принадлежащий G.
3bi
2) Произведение элементов ассоциативно:
(ftfj) ёз = Si (^з)- (22)
3) Существует элемент е ее G, называемый единицей группы, такой, что
ge = g, eg = g (23)
для всех g ее G.
4) Для любого элемента g существует обратный элемент g-1 такой, что
gg-1 = е, g^g = е. (24)
22. Подгруппа. Множество Н С G называется подгруппой группы G, если оно
является группой относительно умножения, заданного в G.
23. Абелева группа. Группа G называется абелевой или коммутативной если
для любых gx, g2 ?Е G имеет место gxg2 - g2g1.
24. Нормальный делитель. Подгруппа Н группы G называется нормальным
делителем группы G (или инвариантной подгруппой), если для любого h (Е Н
имеет место ghg-1 ? Н для всех g ?: G. Группа G, а также подгруппа,
содержащая один элемент е, являются нормальными делителями, которые
называются тривиальными нормальными делителями.
25. Центр группы. Совокупность всех элементов группы G, перестановочных с
каждым элементом из G, называется центром группы G и обозначается Z (G).
26. Представление группы. Пусть G - группа, У - линейное векторное
пространство. Будем говорить, что задано представление Tg: g -> Tg группы
G в пространстве У, если каждому элементу поставлен в
соответствие
линейный оператор Т g в У, причем удовлетворяются условия:
1) Те = Е, (25)
где Е - единичный оператор в У;
2) Г А = Tg,g> (26)
для всех gt, g2eG.
Замечание. Для непрерывных групп G на соответствие g -" Tg следует
наложить, помимо условий 1) и 2), некоторые естественные условия
непрерывности (см. [8-10]).
27. Неприводимое представление группы. Представление Тg группы G в
пространстве У называется неприводимым представлением, если в
пространстве У нет замкнутых инвариантных подпространств У' С У, отличных
от нуля и всего У.
28. Лемма Шура. Если оператор Z коммутирует со всеми операторами Tg
неприводимого представления группы G, TgZ = ZTg для всех g 6Е G. то Z
кратен единичному оператору Z - \Е, где А. - число.
Из леммы Шура следует, что неприводимые представления абелевой группы G
являются одномерными.
29. Полная линейная группа. Рассмотрим в комплексном линейном векторном
пространстве У размерности п линейные преобразования У в себя.
Совокупность всех обратимых линейных преобразований пространства У
образует группу, законом умножения в которой является композиция
преобразований. Она называется полной линейной комплексной группой и
обозначается GL (п, С). Эта группа допускает простую матричную
реализацию.
302
Если в пространстве V фиксировать некоторый базис, то линейным
преобразованиям в этом базисе будут соответствовать квадратные матрицы ||
Siic l|i i, к - 1> 2, . . ., га, где матричные элементы - комплексные
числа. Обратимым линейным преобразованиям пространства V отвечают
невырожденные матрицы g, det || gijc || ф 0. Произведению линейных
преобразований отвечает произведение соответствующих матриц,
тождественному преобразованию отвечает единичная матрица. Таким образом,
GL (га, С) - это группа невырожденных квадратных комплексных матриц re X
