Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 111

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 123 >> Следующая

пространство, комплексное или вещественное. Пространство X является
алгеброй Ли, если в пространстве X введена билинейная операция,
называемая коммутированием, сопоставляющая каждой паре векторов х, у 6Е X
третий, обозначаемый как [г, у] (Е X. Операция коммутирования должна
удовлетворять
296
условиям:
1) [х, у] = -[г, у] для всех х, у ? X. (1)
2) Для любых комплексных (вещественных) чисел А. и р, и всех х, у,
[х, Яг/ + pz] = Я [х, у] + ц [х, г]. (2)
3) Для любых х, у, г? X
[у, г]] + [г/, lz, х]] ¦+ [z, [г, у]] = 0. (3)
Последнее соотношение называется тождеством Якоби.
Векторы ха е X, а = 1, п = dim X, образующие базис в X,
называются генераторами алгебры Ли X.
Так как коммутатор двух генераторов является вектором пространства X, то
можно записать коммутатор в виде
1ха, хр] = clpxv. (4)
Константы называются структурными постоянными алгебры Ли X. В силу (2) и
(3) структурные постоянные удовлетворяют условию
гУ. = (5)
оф Ра
и тождеству Якоби
с.
а5срт + сРбста +с?бсаР - ^
Нетрудно проверить, что набор структурных постоянных ссф(а' Р = 1, . . .,
в), удовлетворяющих (5) и (6), позволяет построить алгебру Ли X.
2. Подалгебра. Подалгеброй алгебры Ли X называется подпространство Y С X,
являющееся в свою очередь алгеброй Ли.
3. Идеал. Подалгебра Y алгебры Ли X называется идеалом в X, если для всех
х ?Е X и у ё Y влечет [г, у] (Е Y.
4. Центр. Совокупность элементов г?1, коммутирующих со всеми элементами
алгебры Ли X, называется ее центром Z (X) = (z: [z, х] = О, х хЕ X} и
обозначается Z(X).
Любая алгебра Ли X обладает двумя тривиальными идеалами, один из которых
состоит из нуля, а другой совпадает со всей алгеброй Ли X.
5. Абелева алгебра Ли. Алгебра Ли X называется абелевой или
коммутативной, если для любых элементов х, у е= X их коммутатор равен
нулю: 1х, у] = 0.
6. Простая (полупростая) алгебра Ли. Алгебра Jin X называется простой,
если она не имеет идеалов, отличных от тривиальных, и dim X ]> 1.
Алгебра Ли X называется полупростой, если она является прямой суммой
простых идеалов.
7. Представление алгебры Ли. Пусть V - комплексное (вещественное)
линейное векторное пространство. Будем говорить, что в V действует
представление алгебры Ли X, если каждому элементу х е X поставлен^
соответствие линейный оператор Тх в пространстве V. Это соответствие
удовлетворяет
297
условиям:
1)
2)
3)
Тх+и - Гх -j- Ту, х, у ?Е X;
[Тх, Т"]= ТхТу - т,,тх -= T[X'Vl.
(7)
(8) О)
8. Неприводимое представление алгебры Ли. Представление алгебры Ли
называется неприводимым, если в пространстве V нет замкнутых инвариантных
подпространств Г', отличных от нуля и всего пространства.
Замечание. Отметим, что в случае бесконечномерного пространства V
подпространство V' должно быть замкнутым, а к условиям (7) - (9)
добавляются соответствующие требования непрерывности (в том или ином
смысле).
9. Лемма Шура. Оператор Z, коммутирующий со всеми операторами Тх
неприводимого представления алгебры Ли X, кратен единичному оператору
Из леммы Шура следует, что в неприводимом представлении Тх алгебры Ли X,
х е X, элементам центра Z (X) соответствуют операторы Тг, z €= е Z (X),
кратные единичному.
10. Присоединенное представление алгебры Ли. Любая алгебра Ли X
обладает некоторым особым представлением, которое связано с операцией
коммутирования. Для любого фиксированного элемента х (Е X рассмотрим
коммутатор [х, у] для всех j ? I. Этот коммутатор позволяет построить
некоторый линейный оператор следующим образом: каждому вектору у (Е X
поставим в соответствие вектор [х, у]. Соответствующий линейный оператор,
обозначаемый ad х, определен на алгебре Ли X, рассматриваемой как
векторное пространство:
Легко проверить, что операторы ad х задают представление алгебры Ли X,
которое называется присоединенным представлением,
В базисе оператору ad ха отвечает матрица са = || ||, построен-
ная из структурных постоянных (4) по формуле
Так как ad х является представлением, то матрицы са удовлетворяют условию
(4), т. е. имеет место равенство
В справедливости (12) легко убедиться непосредственной проверкой,
используя определение са и тождество Якоби (6).
Отметим, что всякий идеал Y алгебры X является инвариантным пространством
присоединенного представления.
Центр алгебры Ли в присоединенном представлении переходит в нуль.
Алгебра Ли X является простой алгеброй Ли X тогда и только тогда, когда
представление ad х, не равное тождественно нулю, является неприводимым.
11. Форма Киллинга - Картана. Присоединенное представление позволяет на
всякой алгебре Ли определить некоторую билинейную форму
Z = IE.
ad х (у) - [х, у], х, у е X.
(10)
(11)
(12)
298
В (х, у), называемую формой Киллинга - Картана. Любой паре векторов X, у
е X поставим в соответствие число В (х, у), равное следу произведения
двух операторов ad х, ad у присоединенного представления:
В (*, у) = Тг (ad x°ad у)- (13)
В базисе алгебры Ли X {^a, а - 1, 2, . . гг} форма Киллинга- Картана
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed