Оптический производстенный контроль - Малакара Д.
Скачать (прямая ссылка):
387' имной балансировки аберраций различных порядков и получения максимума интенсивности Штреля.
Л2.3. Представление преобразования одночлена в полином Цернике и наоборот. Часто функцию волнового фронта записывают в виде одночленов, т. е. степеней X її у
к і
W(XtIj) = V^BijXiyt-J. (А2.13)
г = 0 j = Q
Степень такого полинома равна к и он содержит N= (fc+l) (й+2)/2 членов. Такая функция обычно получается при обработке данных методом наименьших квадратов, и ее желательно привести к линейной комбинации полиномов Цернике. Выражение, преобразующее каждый полином Цернике Unm в соответствующую одночлену форму [7], можно получить подстановкой в Unm следующего выражения для угловой фунции:
C0S j (Л _ 2т) 6 = р—(л—2m) у / _ 1);- , Л - 2т ) х2J+Р у п-2т-2/-р
sin! ft \2i+p)
(А2.14)
-чтс справедливо только для п—2м^0. Параметры р и q приведены в табл. А2.3.
А2.3. Величины р и q из уравнений (А2.14) и (А2.17)
Функция /гчетн ^нечетп
sin р sin q cos р cos q і n — 2 m 2 -1 0 г: — 2/и 1 п — 2/и — 1 2 0 п ¦— 2/и — 1
2 2
Затем используют уравнение (А2.4) и выражают р через хну с помощью соотношения
j
#1 = У и
{J ^ U'
к = Q ^ '
JC2V </-*>. (А 2.15 ^
/М
уравнениях (А2.14) и (А2.15) функция I поедставляет собой коэффициенту
(А2.16)
ты бинома Ньютона, записанные в виде
't \ V.
Ill (t-u)\u\
И, наконец, получим выражение для полиномов Цернике U пт С ПОМОЩЬЮ Степеней X и у
і \ q т т—j о \
и- Ir <-*»-;§ S 2 <-17+;) X
I = Оj = Ok = O
X (т ~J'\_("-JY-х2 (І+Щ+Р уп-2 (i+j+k)-p, (А2.17)
у! (т — у)! (п — т — у)!
388' Представление некоторых полиномов Цернике через одночлены приведено в табл. А2.2.
Здесь имеется Л'= (/г+1) (/г + 2)/2 элементов Unm, которые можно записать столбцом вектора Ur, где индекс г определяется формулой
r==_(n+\)n h (А2.18)
Аналогичным образом индекс s определяется парой чисел i, j.
Интересно, что обратную проблему определения индексов пит через г »южно решить следующим образом:
\ — 3 -L [9 + 8 (г— 1)]1/2 1 ,.„.„, п— множитель, следующий за -—t—-и-1 . (АЛ 19)
Если результат представлен дробным числом и
т = г — (п4-1) /г/2— 1, уравнение (А2.14) можно представить в виде
k і
и = HtjnmXiyt-I,
I-О/ = O
їде Я;-,,,,, = 0, если г лежит вне области |п—так как минимальная и максимальная степени одночленов равны соответственно \п—1т\ и п. Тогда эю выражение можно переписать как
Ur=JHsrXiyi^, (А2.22)
і=І
где индексы 1 и / определяются через индекс S способом, описанным выше.
Поскольку волновой фронт можно записать в виде линейной комбинации полиномов Цернике
W (Р, 6) = J J AnmUnm = JArUn (А2,23)
п = 0 т = 0 г= 1
в нее подставляют Ur и находят следующее соотношение для коэффициентов B4 из уравнения (2.1-3):
Bij = Bs=J J Hijnm Anm ^ J Hsr An (А2.24)
ra=0m = 0 г =nI
которое в матрнчном виде может быть записано как
В = HA. (А2.25)
Отсюда, инвертируя матрицу Н, вычисляют значения коэффициентов Anm через Bij.
Важно отметить, что уравнения (А2.4) и (А2.17) справедливы только для положительных значений (п—т), но это не является серьезной проблемой, так как соотношение (А2.3) позволяет менять знак (п—2т). Для заданных значений пит знак (п—2т) изменяют, используя новую величину т, соответствующую (п—т). Знак (я—2т), таким образом, служит для определения лишь вида используемой функции — sin или cos.
38Г)
(А2.20) (А2.21) А2.4. Матрица H для преобразования полиномов Цернике в одночлены вплоть до восьмой степени (приведены только члены, отличные от нуля)
Значение
Столбец
Ряд
Значение
Столбец
Ряд Значение
1 2 1 3
3 2
4 5
5 1
5 4
5 6
6 4
6 6
7 8
7 10
8 3
8 8
8 10
9 2
9 7
9 9
l'O 7
10 9
11 12
11 14
12 5
12 12
12 14
13 1
13 4
13 6
13 11
13 13
13 15
14 4
14 6
14 11
11 13
<4 15
15 11
І5 13
;5 15
16 17
ІЯ 1 >J 19
15 21
17 8
17 10
17 17
17 19
17 21
18 3
18 8
18 10
18 17
18 19
18 21
19 2
1,0 1,0 1,0 2,0 —1,0 2,0 2,0 1,0 — 1,0 3,0 — 1,0 —2,0 3,0 3,0 —2,0 3,0 3,0 1,0 —3,0 4,0 —4,0 —6,0 8,0 8,0 1,0 —6,0 —6,0 6,0 12,0 6,0 —3,0 3,0 4,0 —4,0 -4,0 1,0 —6,0 1,0 5,0 — 10,0 1,0 —12,0 4,0 15,0 —5,0 —5,0 3,0 — 12,0 — 1,2,0 1-0,0 20,0 1:0,0 3,0
19 19 19 19
19
20 20 20 20 20 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23
23
24 24 24 24 24
24
25 25 25 25 25 25 25 25
25
26 26 26 26 26 26 2.6 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27
7
9 16 18 20 7 9 13 18 20
13 18 20 23 25 27 12
14 23 25 27
5 12
14
23
25
27 1
4
6 11 13
15 22
24
26
28 4 6
11 13 15 22 24 26 28 11 13 15 22 24 26 28
—12,0 —12,0 10,0 20,0 10,0 —4,0 12,0 5,0 — 15,0 —1-5,0 1,0 —10,0 5,0 6,0 —20,0 6,0 —20,0 20,0 24,0 —24,0 —24,0 12,0 —40,0 —40,0 30,0 60,0 30,0 — 1,0 12,0 12,0 —30,0 —60,0 —310,0 20,0 60,0 60,0 20,0 6,0 —6,0 —20,0 20,0 20,0 '16,0 —1.5,0 —30,0 —15,0 —5,0 30,0 —5,0 6,0 —36,0 6,0 6,0
2-8 28 28 28 29 29 29
29
30 30 30 33
30 З'О 3:0
31 31 3'1 31 31 3-1 37 S1I
31
32 32 32 32 32 32 32 32 32
