Статьи и речи - Максвелл Дж.К.
Скачать (прямая ссылка):
Грина и Гаусса.
Еще со времен Пуассона и Грина было известно, что если единичный заряд,
сосредоточенный в какой-нибудь точке Р внутри сферы, распределить по его
поверхности так, чтобы на ней образовался так называемый слой Грина, то
такое преобразование (как раз и названное Пуанкаре "операцией выметания"
изнутри сферы) не приведет к каким-либо изменениям поля вне данной сферы,
Пуанкаре обратил внимание на то, что из этого утверждения, дополненного
указанием о действии слоя Грина на точки внутри
1 Н. Poincare. Sur les equations aux derivees de la Physique
mathematique. "American Journal of mathematics". 1890, vol. XII, N 3, p.
211-294.- Sur les equations de la physique mathematique. "Rendiconti del
Circolo Matematico di Palermo", tomo VIII, 1894, p. 57-186.- La methode
de Neumann et le probleme de Dirichlet. "Acta Mathematical t. 20, 1896,
p. 59-142.
384
данной сферы, можно извлечь весьма далеко идущие следствия. Такого рода
дополнение и делает сначала Пуанкаре, доказав, что операция выметания
положительных масс изнутри сферы приводит к ослаблению поля внутри этой
сферы. Это предложение Пуанкаре составляет, так сказать, первую,
классическую основу его "метода выметания".
Вторая основа этого метода имеет чисто математический характер и связана
с новыми в то время направлениями в математике, относящимися к области
теории множеств. Пуанкаре показывает, что для любой замкнутой поверхности
(а) всегда можно построить счетное множество сфер (Sn), покрывающих
область вне (о) и не пересекающихся с самой поверхностью (а).
Если теперь представить проводник (а), окруженный сферой (2) центра О и
радиуса R, равномерно заряженный положитель-
1
ным электричеством плотности, равной то внутрь некоторых
из сфер {Sn) счетного покрытия, области, внешней к (а), попадут
электрические заряды. Начиная с какой-нибудь из таких сфер (S,),
произведем в любом порядке последовательные выметания, но так, чтобы
каждая из сфер покрытия выметалась бесконечно много раз. Из сказанного
выше следует, что каждая операция выметания может привести разве лишь к
уменьшению потенциала в любой точке М пространства по сравнению с его
первоначаль-
R
ным значением Vo, равным^= в любой точке М вне (2) и равным
1 внутри (2). Таким образом, внутри каждой из сфер (54) определится
некоторая невозрастающая последовательность Ei(i>. E2(i), ..., Vn(i)
положительных функций, гармонических внутри
(S,), имеющая, следовательно, некоторый конечный предел WK Согласно
теореме Гарнака, этот предел также является функцией гармонической внутри
(Si), а совокупность этих последних, взятая во всем ?, определяет
некоторую функцию V, гармоническую вне (п). Так как каждая из E"(i)
удовлетворяет условию 0^Е"(Ч<Уо, то таким же свойством обладает и функция
V, которая в силу этого оказывается регулярной на бесконечности.
Согласно построению, каждая из функций F"(i), обращается в 1 на (0). Для
доказательства того, что таким же свойством обладает и предельная функция
V, Пуанкаре вынужден наложить некоторое ограничение на поверхность
проводника (а). Именно, он предполагает, что в каждой точке этой
поверхности существует определенная касательная плоскость и два
определенных отличных от нуля радиуса кривизны. Эти ограничения позволяют
для любой точки Мо поверхности проводника (а) построить сферу (S),
целиком лежащую внутри (а), и касательную к (а) в точке Мо-
г
Если С -центр сферы (S) и г-ее радиус, то функциярассматриваемая как
функция от М, гармонична вне (5) и обращает-
г
ся в 1 на (S). Поэтому функция и(М) - Vn(M)~ jjq , где
Vn (М) - потенциал точки М, получающийся из V п(М) после п операций
выметания, будет потенциалом в точке М поля, порождаемого положительными
зарядами, лежащими вне (S), и от-
385
рицательного заряда -г, сконцентрированного в центре сферы (5). В силу
этого вне (S) функция и может иметь лишь макси-
г
мумы, и так как H|(S)=0, то вне (S) U>О, т. е. V" (М) > Таким образом,
вне (S) и при будет
V (М)-> V (М") = 1. Тем самым доказано существование функции,
гармонической вне заданного проводника (а) и обращающейся в 1 на
поверхности этого проводника, т. е. установлено существование решения
основной задачи электростатики для указанного класса поверхностей.
С помощью метода изображений Томсона эта задача дает возможность
установить существование функции Грина, а значит, и решить внутреннюю
задачу Дирихле.
Мы не станем останавливаться на некоторых остроумных усовершенствованиях
метода выметания, сделанных Пуанкаре в этом же мемуаре. Укажем лишь, что
Пуанкаре удается снять некоторые ограничения на рассматриваемые им
поверхности и предложить такое видоизменение метода выметания, которое
позволяет непосредственно (т. е. минуя построение функции Грина) доказать
принцип Дирихле для указанного выше класса поверхностей при условии
непрерывности функции, входящей в краевое условие задачи Дирихле.
Высказанные в связи с этим идеи Пуанкаре привели к глубокому
