Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, если положить
то уравнения (6.212) и (6.213) дадут выражения для Ut и р, найденные в
(6.210), но (6.214) теперь имеет вид
з
Таким образом, в то время как выражения для р и Ut, определяемые (6.210),
сохраняют силу и в этом более общем случае, формула для р уже не
справедлива. Она заменяется формулой (6.215), которая связывает функции
р, ф, р с компонентами внешней силы Fr
Теперь необходимо рассмотреть влияние неоднозначности выбранной системы
отсчета. Если наше приближение с самого начала выводилось бы в системе
отсчета (у) (6.107), а не (х), отличался бы существенно конечный
результат от (6.210)? Чтобы ответить на этот вопрос с достаточной для
нащих
(6.213)
}=1
dXj •
з
з
dAi dAj
dp
d2At d
dT dT
(6.214)
'¦ dAk
dXk
7 = 1
или, подставляя значение у из (6.209),
(6.215)
164
Глава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
целей общностью, примем, что функции в (6.107) имеют следующую форму:
где ( и (г могут быть функциями всех четырех координат, но каждое (/==1,
2, 3) не зависит от соответствующей координаты у2. Условия (6.109) и
(6.110) запишутся тогда соответственно
Теперь рассмотрим переход к ньютоновской механике, заменяя с на S' и
пренебрегая членами 1Д^2 или 1Д^4. По предположению, система отсчета (л:)
превращается в ньютоновскую систему отсчета (Г, Хг, Х2, Х3), а (у) - в
ньютоновскую систему отсчета (К4, Yv К2, К3). Тогда, подставляя
(6.216) в (6.107) и пренебрегая всеми членами, содержащими множитель
1/с2, имеем
Таким образом, преобразование (6.216) сохраняет однозначность
ньютоновского времени. Дифференцируя первое из уравнений (6.217) по у4 и
затем опуская все члены, содер-
($>+%)dyl + c\(y\ ym, у"),
(6.216)
Ya=T,
Xi-Yl-\-4nGru(T, Ym, Yn).
(6.219)
§ 6.2. Ньютоновская газовая динамика
165
жащие множитель 1/с2 в этом и всех других уравнениях
(6.217) и (6.218), получаем их ньютоновскую форму:
_?L -п Ч I п
dYi "г" дТ2 - и' дУт "г dYt ~~и'
-Ка лАт*-=0, (6.220)
dYidYm ' dYi дТ
йЧ __ 1 ( дКт , д*Ся дТ2
Читатель может легко убедиться, что решение этих уравнений дается
выражениями:
S=S"/y+/(7').
Т-i
Q = (*=1. 2, 3), (6.221)
7 = 1
(Ргт^т + Р/л^в) ^-~2а1Т2, где ау и ргу - постоянные, причем
Pzm + PmZ = 0> a htj и / - функции Т, удовлетворяющие условию
= ^12 Ч- ^21 ~ ^31 ~Ь~ ^13 = Л23 + Л32- (6.222)
В силу (6.216) и (6.221), формула (6.108) превращается в _ з
Ф - Ф ~Ь 2 + / (Т),
з
фг = ф? +1 с, = Ф, + 1 У Y)h4 (Т) (i = 1,2, 3).
2 7=1
(6.223)
Новые условия совместности отличаются от (6.206) и (6.207) заменой ф, фг
и (Xv Х2, X3) на ф, фг и {Yv К2, К3); так, например, (6.206) заменяется
на
d2i\ii ( <72ф <52ф \ / 2Т
166
Глава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
Но при использовании (6.223) это уравнение превращается в д2фг 1
(дЦ, д2<\1
dYm dYп
1 / <524> \
2ф [дУтдТ ' дГпдт)'
поскольку ф, фг так же зависят от (Т, Yx, Y2, К3), как они ранее зависели
от (Т, Xv Х2, X3), условия совместности по существу не изменились. То же
самое справедливо для (6.207) [в силу (6.222)] и (6.208). Наконец, если
(Уг, р, р отнесены к системе отсчета (К), то, в силу (6.223),
= -50гМ "='.2,3).
Р = -VY (6.224)
д2Ф I Р дрг + X-
Другими словами, выражения для скорости, плотности и давления жидкости
имеют одну и ту же форму как в системе координат (К), так и в системе
(X). Следовательно, поскольку граничные и начальные условия в двух
координатных системах должны быть согласованы при помощи (6.219), можно
сказать, что уравнения (6.210) и (6.224) описывают одно и то же
распределение материи и переход к другой системе отсчета никак не меняет
физическую картину.
§ 6.3. Принцип геодезических линий и ньютоновская теория
Некритическое применение принципа геодезических линий может привести к
явному противоречию с результатами, полученными в конце предыдущего
параграфа. Обычная геодезическая линия в пространстве-времени,
метрические коэффициенты которого определяются (6.101), описывает историю
движения свободной пробной частицы в поле тяготения материи с
распределением (6.105) в пренебрежении полем тяготения самой частицы.
Полагая dx^fds = и используя (2.807) и (6.101), получаем в первом порядке
по х следующие урав*
§ 6.3. Принцип геодезических линий и ньютоновская теория 16?
нения геодезических линий (с точностью до второго порядка по ч):
\}(д^ , 2 (v')2 ] п
jU\dX^~1" С2 дх4 } С2 [ - и>
(6.301)
г?-/ хс2 <5ф
ds 2 дх
2 УЛ.
I р.=1
! дф/\ (v')2
i
+ "Е(^ + ~^Л') = 0
11=1
Если заменить с на S, то ч-"-0, чс2-^-втсО; кроме того, s = Т, v4 - 1 и
vl = dXJdT. Остаются, следовательно, три уравнения системы (6.301):
(/= 1,2,3). (6.302)
Если бы мы воспользовались с самого начала системой отсчета (у) (6.107)
вместо (лг), то уравнения геодезических линий превратились бы в
-^-=4 иоД- (/= 1,2,3), (6.303)
где <}> определяется (6.223). Следовательно, d2Yt
dT2
:4uG^-+a,) (/= 1, 2, 3), (6.304)
так что появляется добавочная постоянная сила тяготения 4itGa?,
действующая на единицу массы. Однако это никак не отражается на
