Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
д (хГ^) dx"
0 (jx, а=1, 2, 3, 4). (6.104)
156
Глава VI. Приближение к уравнениям Эйниаейна
только теорию тяготения, но и обобщение ньютоновской гидродинамики.
Если рассматривать • идеальную жидкость, то ее тензор энергии дается
формулой (4.104), и уравнения (6.103) заменой а = р -(- ^ приводятся к
виду
аи1ит --
си1 и4:
52фл
дх1 дхт
. Фт + Фл
дх1дх4
°("')2 + P = -
а("4)2 -1
д2
(дх*у
-(¦-
(t-
)¦
Фт ~Ь Фп )
+
С1
Щш
J +
д2ф"
2 (о
(дх")2
д*
(дхту д2
I, т, п
дхп)2'(дхт)2
)фг-
•г.
Л_
%с2
(6.105)
где с достаточной степенью точности 4-вектор скорости удовлетворяет
соотношению
з
(6Л06)
У=1
В системе уравнений (6.105) и (6.106) одиннадцать уравнений, левые части
которых содержат шесть функций координат р, р, м^(р,= 1, 2, 3, 4), а
правые части содержат четыре функции ф, t|>j, ф2, ф3. Поэтому должно
иметь место дополнительные соотношения между этими двумя системами
функций, например четыре уравнения (6.104), являющиеся дифференциальными
уравнениями, содержащими р, р, "''(ц = 1, 2, 3, 4). Но возможно также (по
крайней мере в принципе) исключить эти шесть функций из (6.105) и (6.106)
и таким образом получить дифференциальные уравнения, содержащие только ф,
i|)j, ф2, ф3. Эти уравнения являются по сути дела условиями совместимости
того рода, который рассматривался в § 4.2, так как пока ф, ф^ ф2, ф3 не
удовлетворяют этим условиям, одиннадцать уравнений (6.105) и (6.106)
несовместны.
Система координат (л;4, "г1, х2, х3) = (х), однако, неоднозначна,
поскольку, вообще говоря, имеются другие
§ 6.1. Первое приближение
157
системы координат, в которых пространственно-временная метрика
ортогональна и бесконечно мало отличается от метрики пространства-времени
Минковского. Достаточно рассмотреть бесконечно малое преобразование от
(х) к новой системе (у), которое удобно записать в виде
X'
% ?!*
'-<+7?
(ц=1, 2, 3, 4), (6.107)
тде ^ - четыре функции координат (у). При этом метрические коэффициенты
будут
D= 1-чф, Д=^|1+х(ф + ^-)},
где (здесь и далее по дважды повторяющемуся индексу г суммирование не
производится)
т , 1
с2 ду4 ' - 1 / д5' , д? \
(6.108)
, ду1 ' dy*J' - 1 ¦ 2> 3)'> ф и фг являются теми же самыми функциями, но
от нового аргумента (у). Чтобы метрика была ортогональной, ^ должны
удовлетворять условиям
1 дс'
¦ 1 0i - Л (г = 1, 2, 3)
ду1
с1 ду4
д%1
0,
¦ дЦт
дут ду1
¦ 0;
(6.109)
I, т, п - любая циклическая перестановка 1, 2, 3. Это, однако, не
единственные уравнения, которым удовлетворяют другие соотношения
получаются при рассмотрении преобразования уравнений (6.103). Тензор
энергии преобразуется так:
дх14 дх' \ (г \ % \ Та<'
Однако левая часть уравнений (6.103) порядка ч и поэтому достаточно
положить
7*'(у) = 7*'(у).
158
Глава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
Рассмотрим в качестве примера первое из уравнений (6.103), которое в
системе отсчета (у) принимает вид
или
%Tlm = - у.
;.Tlm -
ду1 дут 1 д2
(&L + ill)],
dy4)j
Так как фл-мета у, то
dyl дут ^ 0у1 дут та же самая функция, но от нового аргу-
1т /.л _ " д2Фд
Ч.Т (У) :
ду1 ду"
Следовательно, ^ должны удовлетворять условию д2 /'д!п , д$4
ду1 дут \ ду
= 0,
(6.110)
Поступая таким же образом с остальными уравнениями системы (6.103),
находим
1
д2 /д1т ,
ду1 ду4 \дут д2 (д%т , д\п\
дуЧ' д2
с2 (ду4)2 \ ду"
ду *)'
(ду
д2
= 0, dZm
д2
Т- (дуту
/ д1т , д\п
ill),
ду Ч^ № ду4
^)=о.
I, т, п
(ду1)2 \ дут ду
п)
= 0.
(6.110)
Следовательно, если ^ удовлетворяют (6.109) и (6.110), уравнения
Эйнштейна имеют ту же самую форму в системе отсчета (у), какую они имели
в (х).
Возвращаясь к системе отсчета (х) и уравнениям Эйнштейна в форме (6.105),
рассмотрим случай статического пространства-времени, в котором ф и
являются функциями лишь (х1, х2, х3). Уравнения для трех комбинаций аи1и4
дают
§ 6.2. Ньютоновская газовая динамика
159
и материя в этой системе отсчета покоится. Из уравнений для aulum мы
находим
А а"фт дчп = щ,т _ ач>* д^п
* (дх")2 '(дхт)2 (дхт)2~~Г (дх1)2 (дхп)2 (дх1)2
'
и аналогично
Отсюда р - const. Поэтому общая теорема, частный случай которой был
рассмотрен в § 4.2, утверждает:
Если метрика пространства-времени ортогональна и статична и метрические
коэффициенты отличаются членами порядка х от метрики пространства-времени
Минковского, то материя в данной системе отсчета будет покоится, а ее
давление будет постоянным (с точностью до вторых степеней х).
§ 6.2. Ньютоновская газовая динамика
Приближение предыдущего параграфа существенным образом опиралось на
предположение о малости постоянной х и (если не принимать во внимание
космологическую постоянную) сводилось к гидродинамике специальной теории
относительности. Если теперь константу с заменить бесконечной скоростью и
пренебречь членами порядка 1/?Р2, то получилось бы ньютоновское
приближение для уравнений (6.105) и (6.106). Для получения этого
приближения предположим, что р, р и четыре компоненты и^ не содержат
множителя порядка с2. Что касается ф, ф2, ф3, то возможны два
