Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
тяготения для пустого пространства (7'l'-v = 0), что является физически
неудовлетворительным. - Прим. ред.
§ 4.2. Физический смысл постоянной х
103
вестны под названием уравнений Эйнштейна-, опуская индексы, мы можем
записать эти уравнения в эквивалентных видах
откуда видно, что уравнения (4.106) - (4.108) автоматически удовлетворяют
четырем уравнениям (4.105).
В некоторой точке-событии, или в совокупности точек-событий, где тензор
энергии равен нулю, уравнения Эйнштейна принимают более простой вид
Свертывая, получаем /^ = 4Л, и уравнения Эйнштейна могут быть написаны в
одной из следующих форм:
Наконец, если космологическая постоянная равна нулю, то (4.110) принимает
вид
§ 4.2. Физический смысл постоянной х
В § 3.8 мы показали, что историю распределения вещества можно представить
в пространстве-времени Минковского, задав 4-вектор скорости, плотность и
давление и потребовав затем, чтобы тензор энергии распределения вещества
удовлетворял уравнениям (3.805). Уравнения Эйнштейна, однако, содержат в
себе нечто большее, поскольку они связывают тензор энергии с метрическим
тензором пространства-вре-
хС27> = щ _ }_ 8ц. _ 2Д) , (4>107)
у.сЧ^ = - I (Rl - 2А), (4.108)
В силу (2.703), имеем 1 д Ы2 П} Y^ дхх
= - - 2Л)| х = 0. (4.109)
Я? - jK(R°a - 2А) = 0.
I?' = Ag*', Я? = А8?, Rv, = \g,,,. (4.110)
R?' = 0, Я? = 0, Ярт = о. (4.111)
104 Глава IV. Принципы общей теории относительности
мени. Поэтому можно поставить вопрос, что произойдет, если эти уравнения
применить к пространству-времени Минковского? Так как пространство-время
Минковского плоское, тензоры R^ = Rl - 0 и уравнения (4.106) принимают
вид
- хс*Т*' = ^\ (4.201)
Метрический тензор дается формулой (3.701), а тензор энергии - (4.104).
Вспоминая, что Imn используются т-для циклической подстановки индексов, и
пренебрегая условием суммирования, получаем следующие выражения для
десяти уравнений (4.201):
-_ХС2Г44 =_хс2^р + ^(й4}2_ -?.} = А, (4.202)
- хс2Ти = - ус2 { (р + -?) и1 и* 1 = 0, (4.203)
- у.с2Та = - у-с2{(р + -|-)(йг)2 + р} = - с2А, (4.204)
- xc2Tlm = - у.с2{ (р + -?) alum J- = 0, (4.205)
к которым следует добавить уравнение (4.103), а именно
з
(й4)2-^S^)2== h (4-206>
i=i
Уравнения (4.203), (4.205) и (4.206) показывают, что
и1 - 0, иА- 1,
так что распределение вещества находится в покое относительно данной
инерциальной системы. Уравнения (4.202) и
(4.204), чем бы не являлась постоянная х, дают
А А
р ~' хс2 ' р ~~ х '
Таким образом, плотность и давление постоянны и обязательно имеют
противоположные знаки, за исключением случая Л = 0, когда
они равны нулю. Таким образом эти
результаты являются либо физически неприемлемыми, либо тривиальными.
Отсюда вытекает, что уравнения Эйнштейна, примененные к пространству-
времени Минковского, не дают
§ 4.2. Физический смысл постоянной ч.
105
осмысленных результатов, и что физическая интерпретация постоянной х
таким путем не может быть получена.
Иная ситуация возникает, когда уравнения Эйнштейна применяются к риманову
пространству-времени, метрический тензор которого мало отличается от
метрического тензора пространства-времени Минковского. Рассмотрение
космологической постоянной мы отложим до гл. VI и будем пока считать, что
космологическая постоянная пренебрежимо мала. Примем также, что метрика
совпадает с метрикой ортогонального, статического и изотропного
пространства-времени
з
ds2 = gu (d х4)2 -b 2 gu (dx1)2,
i = 1
где
if 44 = 1 + s/. ]
1 /, , "л * (4-207)
Su - - -?г(1 +s^)> j
причем s - малая постоянная, квадратом и более высокими степенями которой
можно пренебречь, а / и h - функции только трех пространственных
координат. Как и в случае пространства-времени Минковского, мы будем
предполагать что s и х4 имеют размерность времени, а х1, х2, х3 -
размерность длины. Поэтому е/ и eh являются безразмерными величинами. В
силу (4.207),
? = -^г(1+ЗеА)(1+е/).
и, следовательно,
g44- 1-sf, g" = -с2(1-г/г), 1
**=¦>. №>. ! <4'208)
Поэтому тензор энергии (4.104) имеет следующие составляю-щие:
*7,44=(р+^-)("4)2-^ О-з/), 7,и=(р+^-)и,й4, (4.209)
'р и
106
Глава IV. Принципы общей теории относительности
Вычисление тензора Эйнштейна для этого частного случая проще всего
провести, если исходить из тензора Римана- Кристоффеля (2.504). Поскольку
в символы Кристоффеля входят только частные производные от g, символы
Кристоффеля будут порядка е; следовательно, произведения символов
Кристоффеля будут иметь порядок е2 и ими можно пренебречь. Таким образом
(2.504) сводится к
д - 1 ( °2gn I d2gllx d2gb d2ggx \
" 2 \ dx1 dx'-' dx'1 dx1 dx* dx' dx1 dxx ) '
(4.210)
Компоненты этого тензора также имеют порядок г. Тензор Риччи равен
я* - - ^4X^4 °2(^1Х,1 + Я2Хц2 + Язхцз). (4.211)
так как члены порядка е в gв выражении (4.208) будут давать члены порядка
е2 в Rx . Используя (4.207), (4.210) и (4.211) и полагая
у2- д2 d2___| д2- (4 212)
(дл:1)2 ' (dx2)2 ' (dx3)2 ' ^ '
мы получаем, что
?44--'V. '44
R,, = - -Lc2V2/, /?" = 0,
