Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
-2~, gjj = 0 (t Ф j-1,2,3)
8'
44 .
1.
1
g- ce •
; = - с2, g1' - о
(1Ф у=1, 2, 3).
(3.701)
Так как S является типичной координатной системой, то метрика
ортогональна в любой такой системе. Все компоненты метрического тензора
суть постоянные, и пространство-время Минковского является плоским.
Уравнения геодезических линий, в силу (2.806) и (2.807), принимают вид
d2x°
0
(о=1, 2, 3, 4).
(3.702)
Эти уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы и дают
dx1
92 Глава III. Ньютоновская механика и теория относительности
где четыре величины v° и четыре величины хJ - постоянные интегрирования.
Первые четыре постоянные удовлетворяют, в силу (2.808), соотношению
У = 1
Вводя три новые постоянные qt с помощью соотношений
мы можем представить интегралы уравнений (3.702) в виде
Эти результаты были получены посредством решения урав-
координаты любой другой инициальной системы S', то получили бы
аналогичные результаты, которые, однако, можно получить, добавляя штрих к
каждому символу, кроме не, в формулах (3.702)-(3.707). Эти формулы
допускают теперь физическую интерпретацию: три величины qt являются
(постоянными) компонентами скорости движущейся частицы, а уравнения
(3.706) являются интегралами соответствующих уравнений движения, в
предположении, что частица движется в согласии с первым законом движения
Ньютона. Однако ниже будет показано, что скорость частицы должна быть
меньше с и величина ds в (3.707) должна быть действительным числом, так
как дифференциал времени dx4 с необходимостью является действительным.
Поэтому мы заключаем, что времяподобные геодезические линии пространства-
времени Минковского являются кривыми в четырех измерениях, которые
представляют историю движения частицы, движущейся согласно первому закону
Ньютона. Под "историей движения" мы понимаем последовательность
з
(3.704)
V1
dx1 dF'
(3.705)
(3.706)
тогда как соотношение (3.704) принимает вид
з
fr- (3-707)
j-1
нений геодезической линии [чем были использованы координаты системы S.
Если б\ i вместо этого использовали
§ 3.7. Геодезические и нулевые геодезические линии
93
положений в пространстве с соответствующими им моментами времени,
"вычерченную" в системе S. Так как эти выводы основаны на теории
геодезических линий, они справедливы в любой другой координатной системе.
Четыре постоянные v° являются компонентами некоторого контравариантного
вектора в четырехмерном пространстве-времени Минковского - единичного
тангенциального вектора геодезической линии. Три компоненты скорости qt
не составляют, однако, части некоторого четырехмерного вектора, так как
они являются отношениями трех компонент v° к четвертой v4. Специальный
принцип относительности утверждает, что уравнения математической физики
должны сохранять свою форму при преобразовании (3.401), что может быть
обеспечено записью всех соотношений с помощью тензоров. Для частицы,
история движения которой представлена геодезической линией пространства-
времени Минковского, тензорное определение скорости и ускорения
получается постулированием положения, что скорость должна представляться
единичным тангенциальным вектором геодезической линии v(r), называемым 4-
вектором скорости, тогда как ускорение представляется 4-вектором
ускорения d2x°/ds2 (а = 1, 2, 3, 4). В силу (3.702), 4-вектор ускорения
частицы, подчиняющейся первому закону Ньютона, есть нулевой вектор.
Нулевые геодезические линии пространства-времени Минковского можно
получить, заменяя s в формулах (3.702), (3.703) и (3.706) отличным от
нуля параметром р. и заменяя уравнения (3.704) и (3.707) следующими двумя
уравнениями:
з
(v4)2 - jrS(v/)2 = °-
с2 ^ (3.708)
Q2 = С2.
Математическая форма записи этих результатов, как и выше, не зависит от
вида использованной системы координат. В свете того, что было сказано в §
3.5, нулевая геодезическая линия может быть физически интерпретирована
как представление в пространстве-времени Минковского истории движения
светового луча.
Важный результат специальной теории относительности можно сформулировать
здесь без доказательства. Выраженный
94 Глава III. Ньютоновская механика и теория относительности
в четырехмерной форме импульс частицы описывается тремя пространственными
компонентами некоторого 4-вектора, четвертая компонента которого является
мерой энергии, связанной с массой
Входящая в это выражение величина m называется массой покоя или
собственной массой рассматриваемой частицы и является, следовательно,
массой частицы в той системе координат, в которой скорость
рассматриваемой частицы равна нулю. Так как М->оо при q->c, говорят, что
частица не может достигнуть скорости, равной скорости света. Если всеми
степенями cpjc2, кроме первой, можно пренебречь, то мы имеем
так что энергия массы является суммой кинетической энергии частицы и
величины тс2, - результат, который можно интерпретировать путем
утверждения, что масса т частицы эквивалентна количеству энергии тс2.
