Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
или, если рассматриваемая единица массы находится в движении,
?тт=*с'т!г+1'М !)• <3-205>
где djdT - "сопровождающий движение11 оператор ')
7Г = Ш + и1Щ- (3'206>
Плотность р можно исключить из (3.205) с помощью (3.204). Используя также
известное соотношение
& = ?cv( т- 1), (3.207)
получаем следующее выражение для (3.205)
1 dQ rf cvtf dT ~~ dT (np TlnP)-
В термодинамике вводится величина, называемая энтропией, которая для
рассматриваемой нами единичной массы определяется как dQ/J'. Для наших
целей удобнее предположить, что удельная теплоемкость при постоянном
объеме является постоянной для данного газа, и определить энтропию как
dS = -^r. cvcT
Таким образом, окончательно первый закон термодинамики можно записать в
виде
!^ = -^(lnp-Tlnp), (3.208)
или, интегрируя вдоль движения единицы массы газа,
5 = 1п т] -j- In р - if In р, (3.209)
где 7j - постоянная, которая может меняться от одной еди-
ницы массы к другой для некоторого распределения газа. Если же, однако,
энтропия каждой единицы массы постоянна и имеет одно и то же значение, то
р = т}р\ (3.210)
где 7j в данном случае абсолютная постоянная.
') Оператор d/dT обычно называют субстанциональной производной по времени
в отличие от локальной производной по времени djdT. -Прим. ред.
78 Глава III. Ньютоновская механика и теория относительности
Неопределенность пяти уравнений (3.202) - (3.204) для шести неизвестных
(р, р, и трех Uг) может быть теперь легко преодолена наложением
некоторого условия на энтропию S. Адиабатическим потоком называется такой
поток, каждая единица массы которого сохраняет свою энтропию (однако
различные единичные массы не обязаны иметь одну и ту же энтропию). В силу
(3.208), это условие имеет вид
-JY On Р - 7 In р) = 0. (3.211)
Если все единичные массы имеют одну и ту же неизменную энтропию, то
давление и плотность связаны иззнтропиче-ским уравнением (3.210). В
газодинамике часто это уравнение упоминают (несколько небрежно) под
названием "уравнения состояния" данного газа, однако такая терминология
неправильна; уравнением состояния является соотношение
(3.204), тогда как уравнения (3.211) и (3.210) являются просто частными
возможностями, возникающими при определенных предположениях о
термодинамическом поведении газа.
§ 3.3. Ньютоновская теория тяготения
Явление тяготения проявляется в первую очередь в том, что все отпущенные
вблизи поверхности Земли тела падают на Землю с одним и тем же постоянным
ускорением g. Говоря это, мы конечно отвлекаемся от второстепенных черт
этого движения (таких, как влияние трения воздуха). Ускорение оказывается
независимым от всех физических характеристик движущегося тела; от его
формы, массы, температуры, возможного внутреннего строения и т. д. В этом
отношении рассматриваемое движение тела аналогично движению тела,
подчиняющегося первому закону движения Ньютона, где также не играют роли
никакие физические атрибуты тела, за исключением того, что скорость тела
в этом случае уже не постоянна. Присутствие в ньютоновской теории
тяготения ускорения g рассматривается как свидетельство действия
некоторой силы (в смысле второго закона Ньютона), которая называется
силой тяготения. Эта сила, однако, имеет весьма своеобразный характер по
сравнению с другими силами, встречающимися в природе,
§ 3.3 Ньютоновская теория тяготения
79
например с силой, вызываемой растянутой пружиной. Данная пружина,
натянутая в одной и той же степени и могущая ускорять тела различной
массы, которые могут свободно двигаться, будет сообщать разные ускорения
различным телам. В отличие от этой упругой силы сила тяжести имеет
самосогласованный характер: она точно "знает" как действовать, чтобы
сообщить одно и то же ускорение телам различной массы. Это примечательное
явление обычно выражают следующим образом, вскрывающим фундаментальный
экспериментальный факт: инертная и гравитационная массы тела равны.
Последнее утверждение можно пояснить следующим образом: если т - масса
тела, то сила тяготения, действующая на это тело, по закону Ньютона,
равна W - mg. Сила тяготения известна, конечно, как вес тела. Но
предположим теперь, что все ускорения выражены в долях ускорения силы
тяжести g. Тогда в (3.103) мы можем написать
где at - компоненты ускорения, деленные на g, т. е.
Таким образом, в этой форме записи второго закона Ньютона вес, или
гравитационная масса, тела играет ту же роль, что и инертная масса в
исходной форме уравнения. С другой стороны, предположим, что выбрана
некоторая стандартная масса т0, гравитационная масса которой равна WQ -
m0g. Поэтому
так как g есть одинаковое ускорение, сообщаемое массам т и т0 силой
тяжести. Таким образом, если т0 выбрано за единицу инертной массы, a W0 -
за единицу гравитационной, то в этих единицах W - т или, другими словами,
инертная масса равна гравитационной. Основное значение, однако, имеет
наблюдаемая одинаковость значения g для ускорения, вызываемого силой
тяжести, что мы выше назвали "самосогласованным характером" этой
